Siedzę już trochę i kompletnie nie mogę załapać o co chodzi i jak się je liczy, np. w wątku (pkt 3):
276193.htm
Może ktoś podać jakąś definicję, schemat szukania wektorów niebazowych i dokładnie wytłumaczyć o chodzi?
Wektor niebazowy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wektor niebazowy
Nie rozpatruje sie czegoś takiego.
Baza to układ wektorów, które sa liniowo niezależne i ich kombinacje liniowe generują całą przestrzeń.
Każdy niezerowy wektor może stać się wektorem bazowym. Wynika to z tw. twierdzenia o wymianie:
Jeżeli wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,\dots,v_n}\) są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ w}\) jest niezerowym wektorem, to istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że układ \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_{k-1},w,v_{k+1},\dots,v_n}\) jest bazą.
Baza to układ wektorów, które sa liniowo niezależne i ich kombinacje liniowe generują całą przestrzeń.
Każdy niezerowy wektor może stać się wektorem bazowym. Wynika to z tw. twierdzenia o wymianie:
Jeżeli wektory \(\displaystyle{ v_1,v_2,\dots,v_n}\) są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ w}\) jest niezerowym wektorem, to istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że układ \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_{k-1},w,v_{k+1},\dots,v_n}\) jest bazą.
-
Astrol
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 8 kwie 2013, o 18:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Wektor niebazowy
Ok, dzięki.
Czyli jak mam rozwiązać zadanie, w którym jednym z podpunktów jest:
znaleźć współrzędne wektorów niebazowych, gdy bazę mam np.
\(\displaystyle{ \vec{v}_1=[1,-2,1,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_2=[-1,2,4,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_3=[-1,2,14,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_4=[-1,2,9,1]}\)
Dokładnie zadanie brzmi:
Dana jest podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) rozpięta na wyżej podanych wektorach. Określić jej wymiar, wybrać wektory bazowe, znaleźć współrzędne wektorów niebazowych w wybranej bazie. Ustalić czy wektor \(\displaystyle{ \vec{X}=[-1,2,9,1]}\) należy do tej przestrzeni, jeśli tak- wyznaczyć jego współrzędne w danej bazie.
Wszystko rozumiem, tylko nie mam bladego pojęcia jak ten jeden podpunkt rozwiązać.
Czyli jak mam rozwiązać zadanie, w którym jednym z podpunktów jest:
znaleźć współrzędne wektorów niebazowych, gdy bazę mam np.
\(\displaystyle{ \vec{v}_1=[1,-2,1,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_2=[-1,2,4,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_3=[-1,2,14,3]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}_4=[-1,2,9,1]}\)
Dokładnie zadanie brzmi:
Dana jest podprzestrzeń liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) rozpięta na wyżej podanych wektorach. Określić jej wymiar, wybrać wektory bazowe, znaleźć współrzędne wektorów niebazowych w wybranej bazie. Ustalić czy wektor \(\displaystyle{ \vec{X}=[-1,2,9,1]}\) należy do tej przestrzeni, jeśli tak- wyznaczyć jego współrzędne w danej bazie.
Wszystko rozumiem, tylko nie mam bladego pojęcia jak ten jeden podpunkt rozwiązać.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wektor niebazowy
Masz cztery wektory, ale one pewnie nie są liniowo niezależne. Masz znaleźć największy zestaw liniowo niezależnych (one będą tworzyły bazę), a następnie wyrazić pozostałe (te "niebazowe") przez kombinacje liniowe tych bazowych.
Uwaga, wyniki mogą się różnić w zależności od wyboru wektorów bazowych.
Prosty przykład:
w \(\displaystyle{ \RR^2}\) masz wektory \(\displaystyle{ v_1=[1,0],\ v_2=[0,1], \ v_3=[1,1]}\).
Możesz wybrać bazę \(\displaystyle{ v_1, v_2}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_2=v_1+v_2}\), albo bazę \(\displaystyle{ v_1,v_3}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_2=v_3-v_1}\), albo bazę \(\displaystyle{ v_2,v_3}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_1=v_3-v_2}\)
Uwaga, wyniki mogą się różnić w zależności od wyboru wektorów bazowych.
Prosty przykład:
w \(\displaystyle{ \RR^2}\) masz wektory \(\displaystyle{ v_1=[1,0],\ v_2=[0,1], \ v_3=[1,1]}\).
Możesz wybrać bazę \(\displaystyle{ v_1, v_2}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_2=v_1+v_2}\), albo bazę \(\displaystyle{ v_1,v_3}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_2=v_3-v_1}\), albo bazę \(\displaystyle{ v_2,v_3}\) i wtedy \(\displaystyle{ v_1=v_3-v_2}\)