Wymiar jądra i obrazu odwzorowania liniowego

[janosik140]

Witam.

Podaj obraz i jądro odwzorowania f, określ wymiary
\(\displaystyle{ f: \RR^3 \rightarrow \RR^2}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z) = (x-y,x+y)}\)
jądro wychodzi mi \(\displaystyle{ \ker f = {(0,0)}; dim\ker f =0}\)
a obraz \(\displaystyle{ \text{im} f = \lin{ (1,1),(-1,1) }, dim\text{im} f = 2}\)

z twierdzenia o wymiarach \(\displaystyle{ dim\RR^3 = dim\text{im} f + dim \ker f}\)

i się mi nie zgadza gdzie robie błąd ????

[NogaWeza]

A wektor \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) na jaki wektor przechodzi poprzez to odwzorowanie?

PS Umieszczaj wyrażenia matematyczne w tagach

Kod: Zaznacz cały

[tex][/tex]

jest czytelniej.

[janosik140]

przechodzi na \(\displaystyle{ (0,0)}\)

to jest odwzorowanie z \(\displaystyle{ R^3 \rightarrow R^2}\)

[pawlo392]

Jaki jest wymiar jądra?

[janosik140]

wymiar jadra wg mnie to 0
ale mogę się mylic bo cos się nie zgadza

[NogaWeza]

To widzę, że nie znasz definicji jądra w takim razie, bo sam pisałeś, że ten wektor, o który Cię zapytałem przechodzi na \(\displaystyle{ (0,0)}\).

[janosik140]

z definicji jadra wynika:

\(\displaystyle{ x-y=0}\)
\(\displaystyle{ x+y=0}\)

i dostaje \(\displaystyle{ x=0, y=0}\)

więc \(\displaystyle{ \ker f = {(0,0)}, dim\ker f = 0}\)

nie wiem o co ci chodzi

[pawlo392]

Przecież wymiar jądra to 1.

[NogaWeza]

Definicja jądra dla \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) to \(\displaystyle{ \left\{ x \in X : f(x) = 0\right\}}\). Przeanalizuj to dokładnie.

[janosik140]

Przecież wymiar jądra to 1.

Dlaczego, przecież wymiar wektora zerowego jest 0.

[NogaWeza]

Widzisz definicję, którą zapisałem post wyżej? Spróbuj przeczytać, zrozumieć i zapisać własnymi słowami jak ją rozumiesz.

[janosik140]

czyli jadro będzie postaci:

\(\displaystyle{ \ker f = { (0,0,z) }=\lin{ (0,0,1) }}\)

czyli \(\displaystyle{ dim \ker f = 1}\)

tak?

[NogaWeza]

Dokładnie. Bazę jądra tworzą wektory,które w wyniku przekształcenia przechodzą na wektor zerowy.

[janosik140]

dzięki wielkie