Wzajemne położenie prostych

PatrykTraveler · Post autor: **PatrykTraveler** » 30 gru 2016, o 20:42

Witam, bardzo bym prosił o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

Zbadać wzajemne położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi: y-z-2=0}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A = (1,2,0)}\) oraz prostej \(\displaystyle{ k}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B = (0,3,-1)}\) i równoległej do prostej:

\(\displaystyle{ k' = \begin{cases} x+y-z = -1 \\ x-2y-z=2 \end{cases}}\)

Wyznaczyć odległość prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 30 gru 2016, o 21:19

Wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) będzie wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l}\). Masz również punkt należący do prostej \(\displaystyle{ l}\) , więc możesz od rzu napsiać równanie parametrycnzej prostej w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\).

PatrykTraveler · Post autor: **PatrykTraveler** » 30 gru 2016, o 21:27

Tak, to wiedziałem. Wyznaczyłem również iloczyn wektorowy wektorów z prostej k' i na jego podstawie napisałem wzór prostej k. Czy idę dobrą drogą?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 30 gru 2016, o 21:33

Tak, dobrze.

Skoro prosta \(\displaystyle{ k'}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ k}\), to mają taki sam wektor kierunkowy.

PatrykTraveler · Post autor: **PatrykTraveler** » 30 gru 2016, o 21:45

Dzięki za pomoc. Czy jeśli mam równania obu prostych, to mogę skorzystać z tego sposobu https://www.matematyka.pl/98783.htm, aby obliczyć odległość między nimi?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 30 gru 2016, o 22:07

Wykorzystaj, że proste są równoległe. (iloczyn wektorowy i pole równoległoboku) - tak zdaje się dużo prościej.

nawiązujac do pytania:
Jaki jest iloczyn wektorowy wektorów współiniowych?

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 30 gru 2016, o 22:15

Sposób w podanym temacie jest w porządku.

Istnieje jednak fajny wzorek z wyznacznikiem macierzy, do którego też jest CI potrzebny iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych.

\(\displaystyle{ d(l,k)=\frac{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2z_1\\a&b&c\\a'&b'&c'\end{array}\right| }{|| [a,b,c ] \times [a',b',c']||}}\),

gdzie
\(\displaystyle{ [a,b,c]}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ [a',b',c']}\) - wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1)}\) - dowolny punkt należący do prostej \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ (x_2,y_2,z_2)}\) - dowolny punkt należący do prostej \(\displaystyle{ k}\)

PatrykTraveler · Post autor: **PatrykTraveler** » 30 gru 2016, o 22:24

Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych jest zerowy, ale proste k i l chyba nie są równoległe.

Poszukujaca · Post autor: **Poszukujaca** » 30 gru 2016, o 23:23

Skąd te wątpliwości, że chyba nie są równoległe?