Mam zadanie:
Rozważ trzy elementy przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy 2x2:
\(\displaystyle{ |1\rangle= \left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ |2\rangle= \left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ |3\rangle= \left[
\begin{array}{cc}
-2 & -1\\
0 & -2
\end{array}
\right]}\)
Czy są one liniowo niezależne?
Jak dla mnie są liniowo zależne, ponieważ spełniony jest warunek, że \(\displaystyle{ |3\rangle}\) można przedstawić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ |2\rangle}\) oraz \(\displaystyle{ |1\rangle}\):
\(\displaystyle{ |3\rangle=-2 |2\rangle + |1\rangle}\)
czyli:
\(\displaystyle{ |3\rangle= \left[
\begin{array}{cc}
-2 & -1\\
0 & -2
\end{array}
\right]
=-2\left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 1
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{cc}
-2 & -2\\
0 & -2
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{cc}
-2+0 & -2+1\\
0+0 & -2+0
\end{array}
\right] = \left[
\begin{array}{cc}
-2 & -1\\
0 & -2
\end{array}
\right]}\)
Czy rozważania są poprawne?