Przestrzeń liniowa- sprawdzenie zadań z wektorami

[tomaszplo]

Cześć!
Przerabiam ostatnio kurs mechaniki kwantowej i trafiłem na dwa zadania z którymi mam problem, ponieważ nie ma podanych rozwiązań i nie jestem pewny czy załapałem temat.

Pierwsze zadania było sprawdzenie poniższych twierdzeń:
a) \(\displaystyle{ |0\rangle = (0+1)|V\rangle +|-V\rangle}\)
b) \(\displaystyle{ |V\rangle (|-V\rangle)=0|V\rangle=|0\rangle}\)
c) \(\displaystyle{ |V\rangle+|W\rangle=|V\rangle+|-V\rangle}\) zakładając, że wektor \(\displaystyle{ |W\rangle}\) spełnia równość \(\displaystyle{ |V\rangle +|W\rangle =|0\rangle}\)

W moim przekonaniu rozwiązania są następujące:
a) \(\displaystyle{ |0\rangle = (0+1)|V\rangle +|-V\rangle}\)
\(\displaystyle{ |0\rangle = |0\rangle+|V\rangle+|-V\rangle}\)
\(\displaystyle{ |0\rangle = |0\rangle+|0\rangle}\)
\(\displaystyle{ |0\rangle = |0\rangle}\) nie rozumiem tylko czy tak można robić

b) \(\displaystyle{ |V\rangle (|-V\rangle)=0|V\rangle=|0\rangle}\)
\(\displaystyle{ |V\rangle (|-V\rangle)=|0\rangle=|0\rangle}\)
\(\displaystyle{ |0\rangle=|0\rangle=|0\rangle}\) też nie wiem czy tak można robić

c) \(\displaystyle{ |V\rangle+|W\rangle=|V\rangle+|-V\rangle}\)
\(\displaystyle{ |V\rangle +|W\rangle =|0\rangle}\)
\(\displaystyle{ |0\rangle=|0\rangle}\)


Mam też zadanie drugie: rozważ zbiór elementów postaci \(\displaystyle{ (a,b,c)}\), gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi . Dodawanie i mnożenie przez skalar zdefiniowano następująco:
\(\displaystyle{ (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d, b+e, c+f)}\)
\(\displaystyle{ \alpha(a,b,c)=(\alpha a, \alpha b, \alpha c)}\)
Podaj wektor zerowy i wektor przeciwny do \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Wykaż, że elementy postaci \(\displaystyle{ (a,b,1)}\) nie tworzą przestrzeni liniowej.
Nie mam zielonego pojęcia jak zabrać się za to zadanie. Proszę o jakąś podpowiedź.

[Yelon]

Nie rozumiem oznaczeń w zadaniu pierwszym.

Co do drugiego to wektor zerowy i przeciwny jest łatwo podać. Zamiast przypadku trójwymiarowego najpierw spróbuj z jednowymiarowym. Jeśli nie wiesz co to wektor zerowy i przeciwny, doczytaj, choćby na Wikipedii.

Co do tego, że wektory postaci \(\displaystyle{ (a,b,1)}\) nie tworzą przestrzeni wektorowej, zauważ ze do przestrzeni wektorowej (każdej) musi należeć zero tej przestrzeni (czyli wektor zerowy w odpowiednim wymiarze - dostaniesz go z wcześniejszego punktu). Pomyśl czy istnieją takie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), dzięki ktorym otrzymamy wektor zerowy.

[vpprof]

Yelon, o to ci chodzi?

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Notacja_Diraca

[Yelon]

Tak, dzięki. Po prostu nie spotkałem się z taką notacją.