Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) będą wektorami rozpinającymi \(\displaystyle{ \RR^2}\). Wykazać, że jeśli istnieje przekształcenie liniowe\(\displaystyle{ \varphi :\RR^2 \rightarrow \RR^2}\), takie, że
\(\displaystyle{ \varphi\left( \alpha\right)=\beta,\varphi\left( \beta\right)=\gamma,\varphi\left( \gamma\right)=\alpha}\)
to
\(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=0}\)
I nie wiem, z której strony to ugryźć. Jakaś mała wskazówka? Wiem, że trzykrotne złożenie \(\displaystyle{ \varphi}\) na wektorze np. \(\displaystyle{ \alpha}\) daje wektor \(\displaystyle{ \alpha}\).
Wiem, też, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=\varphi\left( \alpha\right)+\varphi\left( \beta\right)+\varphi\left( \gamma\right)=\varphi\left( \alpha+\beta+\gamma\right)}\)
I tu taka myśl czy to przekształcenie jest identycznością, ale chyba nie jest?
I wiem, że \(\displaystyle{ \varphi\left( \alpha\right),\varphi\left( \beta\right),\varphi\left( \gamma\right)}\) rozpinają \(\displaystyle{ \Im\varphi}\). I wiem, też, że \(\displaystyle{ \dim \RR^2=\dim \ker \varphi +\dim \Im \varphi}\).
Jednak nie wiem jak z tego wszystkiego dostać to co trzeba. Jakaś mała wskazówka?
Przekształcenie liniowe
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Przekształcenie liniowe
Fajne zadanie
Skoro \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) rozpinają przestrzeń, to bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są wektorami bazowymi.
Zatem \(\displaystyle{ \gamma=a\alpha+b\beta}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\).
Teraz rozpisz \(\displaystyle{ \varphi(\alpha+\beta+\gamma)}\) na dwa sposoby.
\(\displaystyle{ 1)\ldots =\beta+\gamma+\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2)\ldots=\beta+\gamma+\varphi(a\alpha+b\beta)}\)
Spróbuj z tego teraz ułożyć układ równań (usuwając po drodze wszystkie gammy oraz funkcję \(\displaystyle{ \varphi}\)) i pokazać, że \(\displaystyle{ a=b=-1}\).
Skoro \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) rozpinają przestrzeń, to bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są wektorami bazowymi.
Zatem \(\displaystyle{ \gamma=a\alpha+b\beta}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\).
Teraz rozpisz \(\displaystyle{ \varphi(\alpha+\beta+\gamma)}\) na dwa sposoby.
\(\displaystyle{ 1)\ldots =\beta+\gamma+\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2)\ldots=\beta+\gamma+\varphi(a\alpha+b\beta)}\)
Spróbuj z tego teraz ułożyć układ równań (usuwając po drodze wszystkie gammy oraz funkcję \(\displaystyle{ \varphi}\)) i pokazać, że \(\displaystyle{ a=b=-1}\).
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Przekształcenie liniowe
No to w zasadzie od razu możemy napisać, że
\(\displaystyle{ \varphi\left( a\alpha+b\beta\right)=\alpha}\)
po drobnych przekształceniach dostajemy, że \(\displaystyle{ \gamma=-\alpha-\beta}\)
czyli suma \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=0}\)
Nie ma to jak dobry pomysł .
Niby widziałem to rozpisanie wektora \(\displaystyle{ \gamma}\) jako zależnego od tamtych, ale nie pociągnąłem tego rozumowania dalej:/.
\(\displaystyle{ \varphi\left( a\alpha+b\beta\right)=\alpha}\)
po drobnych przekształceniach dostajemy, że \(\displaystyle{ \gamma=-\alpha-\beta}\)
czyli suma \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=0}\)
Nie ma to jak dobry pomysł .
Niby widziałem to rozpisanie wektora \(\displaystyle{ \gamma}\) jako zależnego od tamtych, ale nie pociągnąłem tego rozumowania dalej:/.