Niech \(\displaystyle{ \phi:V \rightarrow W}\) będzie przekształceniem liniowym nad ciałem \(\displaystyle{ Z_3}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4}\) będzie bazą \(\displaystyle{ V}\), zaś \(\displaystyle{ \beta_1,\beta_2,\beta_3}\) bazą \(\displaystyle{ W}\). Niech \(\displaystyle{ \phi}\) ma w tych bazach macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}1&2&2&1\\0&1&1&1\\2&1&0&1\end{array}\right]}\)
Znajdź macierz \(\displaystyle{ \phi}\) w bazach \(\displaystyle{ \alpha_1'=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2'=\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3'=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_4'=\alpha_3+\alpha_4}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_1'=\beta_1-\beta_2+\beta_3,\beta_2'=\beta_3,\beta_3'=-\beta_1+2\beta_2}\)
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Z macierzy przekształcenia możemy odczytać, że:
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_1\right)=1\beta_1+0\beta_2+2\beta_3}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_2\right)=2\beta_1+1\beta_2+1\beta_3}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_3\right)=2\beta_1+1\beta_2+0\beta_3}\)
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_4\right)=1\beta_1+1\beta_2+1\beta_3}\)
Zatem \(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_1'\right)=\phi\left( \alpha_1+\alpha_2\right)}\)
Z liniowości mamy, że:
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_1'\right)=\phi\left( \alpha_1\right)+\phi\left( \alpha_2\right)=3\beta_1+1\beta_2+3\beta_3=0\beta_1+1\beta_2+0\beta_3}\)
I ma być w bazie \(\displaystyle{ \beta_1'=\beta_1-\beta_2+\beta_3}\)
\(\displaystyle{ \beta_2'=\beta_3}\), \(\displaystyle{ \beta_3'=-\beta_1+2\beta_2}\)
zatem
\(\displaystyle{ \phi\left( \alpha_1+\alpha_2\right)=a\beta_1'+b\beta_2'+c\beta_3'=a\left( \beta_1-\beta_2+\beta_3\right)+b\beta_3+c\left( -\beta_1+\beta_2\right)=\left( a-c\right)\beta_1+\left( -a+2c\right)\beta_2+\left( a+b\right)\beta_3}\)
Z przyrównania współrzędnych dostajemy, że :
\(\displaystyle{ a=1,b=2,c=1}\).
Czyli pierwsza kolumna naszej macierzy to:
\(\displaystyle{ 1,2,1}\).
Analogicznie wyznaczam pozostałe kolumny i dostaje macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}1&1&0&2\\2&0&0&2\\1&0&1&2\end{array}\right]}\)
Dobrze?