Znalezienie dowolonego wektora w bazie

[stefan13]

Należy znaleźć dowolny wektor \(\displaystyle{ [a,b]}\) w podanej bazie przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\)

\(\displaystyle{ [(2,5),(4,3)]}\)

Odpowiedź jest bardzo prosta bo \(\displaystyle{ [a,b]=(3a-4b)[2,5]+(-5a+2b)[4,3]}\)
Z czego to wynika?

[Yelon]

co znaczy to równanie?
dla wektora, powiedzmy \(\displaystyle{ (1,1)}\) mamy równość
\(\displaystyle{ [1,1]=(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1)[2,5] +(-5 \cdot 1+2 \cdot 1)[4,3]= -1[2,5]-3[4,3]=[-2,-5]+[-12,-9]\neq[1,1]}\)

Ja bym po prostu zapisał: \(\displaystyle{ \alpha(2,5)+\beta(4,3)=(a,b)}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\).

[stefan13]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2&4 &a \\
5&3 &b
\end{bmatrix}
\mapsto
\begin{bmatrix}
-3&1 &a-b \\
14&0 &-3a+4b
\end{bmatrix}}\)

Z takiej macierzy wyliczenie wyniku nie jest możliwe. Co robię źle??

[Yelon]

Policz zwykły układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\alpha+4\beta=a \\ 5\alpha+3\beta=b \end{cases}}\)
Wylicz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

[stefan13]

Z tego wychodzą przecież jakieś ułamki, które wgl nie zgadzają się z odpowiedzią.

[Yelon]

Przeczytaj mój pierwszy post w tym temacie. Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale z tego co mi się wydaje, jeśli podstawimy \(\displaystyle{ a=b=1}\), to Twoje równanie które jest odpowiedzią nie zachodzi, gdyż po lewej stronie mamy wektor \(\displaystyle{ (1,1)}\), a po prawej \(\displaystyle{ (-14,-14)}\).

[stefan13]

Nie rozumiem w takim razie jak rozwiązać to zadanie.

Podam inny przykład i odpowiedź:
\(\displaystyle{ [(4,3),(17,13)]}\)

odp:
\(\displaystyle{ [a,b] = (13a-17b)[4,3]+(-3a+4b)[17,13]}\)

[Yelon]

Napiszę jak ja to widzę (w ogóle ideę zadania).

Po pierwsze mając dowolną bazę, u nas, powiedzmy, w przestrzeni dwu wymiarowej, niech będą to jakieś dwa wektory:

\(\displaystyle{ \mathcal{B}}\)\(\displaystyle{ = \left\{ b_1, b_2\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ b_1=(x_1,y_1), \ b_2=(x_2,y_2)}\).

Wiemy, że mając naszą bazę, możemy dowolny wektor zapisać jako kombinacja liniowa tej bazy.
Czyli mając wektor \(\displaystyle{ (a,b)}\), powinniśmy móc go zapisać za pomocą takiej kombinacji:

\(\displaystyle{ (a,b)=\alpha_1 b_1+ \alpha_2 b_2=\alpha_1(x_1,y_1)+\alpha_2(x_2,y_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) są jakimiś skalarami z ciała.

Mając takie równanie widzimy, że po lewej stronie możemy sobie wziąć dowolny wektor, natomiast po prawej stronie baza się nie zmienia (jest zadana na samym początku), więc możemy sobie dobierać tylko skalary \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2}\).

Łatwo wywnioskować, że skalary będą zależne od wektora \(\displaystyle{ (a,b)}\) (nie może być inaczej, to znaczy że dla jakiejś pary skalarów możemy sobie po lewej stronie dowolnie zmieniać wektor, wydaje mi się, że jest to logiczne).

Zauważ, że odpowiedź z Twojego pierwszego posta tego nie spełnia.

A jak to policzyć napisałem we wcześniejszych postach, zrób układ dwóch równań, potem wylicz z nich skalary (będą one wyznaczone za pomocą współrzędnych z wektora \(\displaystyle{ (a,b)}\)).