Czy zbiór jest podprzestrzenią(liczby zespolone)

[Rotgar]

a) \(\displaystyle{ A= \left\{ ( z_{1}, z_{2} , z_{3}) \in \CC^{3}: \Im z_{1}=\Im z_{3} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ B= \left\{ ( z_{1}, z_{2} , z_{3}) \in \CC^{3}: z_{1}=j \cdot z_{3}\right\}}\)

Czy są podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \CC^{3}}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\)? Jeśli tak to podać wymiar i bazę tej podprzestrzeni. Udowodnić potrafię, ale gorzej z zapisem bazy.

Prawdopodobnie sobie jakoś poradziłem. W pierwszym wyszło mi, że nie jest podprzestrzenią, ponieważ nie jest zamknięte na mnożenie. W drugim jest podprzestrzenią, a baza to np. \(\displaystyle{ B=((0,1,0),(j,0,1))}\).

[Poszukujaca]

Mi również wyszło tak jak Tobie.

Jako kontrprzykład na brak jednorodności w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) zapodam czymś takim:
\(\displaystyle{ \alpha = 1-i}\)
\(\displaystyle{ (1-i) (x_1+iy_1,x_2+iy_2,x_3+iy_1)= \\
=(x_1+y_1+i(y_1-x_1),x_2+y_2+i(y_2-x_2),x_3+y_1+i(y_1-x_3))}\)
Widać, że nie dla wszytskich rzeczywistych \(\displaystyle{ x_1, x_3}\) części urojone będą równe. Co więcej tylko dla takich samych. Więc element ten nie należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\), ponieważ nie spełnia warunku go opisującego.