Macierz odwzorowania liniowego pomiędzy macierzami

[edzioedzio55]

Pokazać, że \(\displaystyle{ \varphi = M_{2\times 2}(\mathbb{R}) \to M_{2\times 3}(\mathbb{R})}\),
\(\displaystyle{ \varphi(X)=X\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}}\) jest przekształceniem liniowym.
Wyznaczyć macierz tego przekształcenia \(\displaystyle{ M_B^A(\varphi)}\) w bazach
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \left(
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \right)}\)

O ile z pierwszą częścią pokazania że jest liniowe nie mam problemu o tyle z drugą cześcią jest problem bo ten \(\displaystyle{ X}\) z lewej strony mi jakoś przeszkadza a nie mogę go z prawej strony napisać bo się przecież wymiary nie zgadzają.

Pytanie na marginesie czy te Bazy A i B mogę nazwać standardowymi ?-- 18 gru 2016, o 00:34 --Czy chodzi o coś takiego ??

\(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \varphi(X) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{11} \\ x_{12} \\ x_{21} \\ x_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \\ a_{21} \\ a_{22} \\ a_{23} \end{bmatrix}}\)