Zadania z przestrzeni R^n

[jakub1998]

Witam, mam do rozwiązania dwa zadania, potrzebuję je szybko żeby do poniedziałku zrozumieć o co chodzi w tych przestrzeniach, bo nie mogę tych zadań zrobić z pomocą notatek z wykładu.. Jedynie do dwóch przykładów mam odpowiedzi swoje.

1) Wyznacz zbiory
\(\displaystyle{ \left\{ \vec{x} \in \RR ^{2} :\left\langle \vec{x}, \left( 1,1 \right) \right\rangle = 0 \right\}}\)
tu mam że \(\displaystyle{ x=-y}\) (przy założeniu że \(\displaystyle{ \vec{x} = \left( x,y \right)}\))
\(\displaystyle{ \left\{ \vec{x} \in \RR ^{3}: \left\langle \vec{x}, \left( 1,1,1 \right) \right\rangle = 0 \right\}}\)
tu przy współrzędnych \(\displaystyle{ \left( x,y,z \right)}\) mam że \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
\(\displaystyle{ \left\{ \vec{x} \in \RR ^{3}: || \vec{x} - \left( 0,0,1 \right) || = 1 \right\}}\)

2) Pokaż że dla dowolnych \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y} \in \RR ^{n}}\) mamy
a) \(\displaystyle{ \left\langle \vec{x}, \vec{y} \right\rangle = \frac{1}{4} \left( || \vec{x} + \vec{y} || - || \vec{x} - \vec{y} ||\right)}\)
b) \(\displaystyle{ || \vec{x}|| - || \vec{y}|| \le || \vec{x}- \vec{y}||}\)

Jeśli by się dało, proszę o łopatologiczne wytłumaczenie przynajmniej tego pierwszego zadania, w internecie nie mogłem także znaleźć jakiegoś tłumaczenia, więc pozostało tylko forum..

[SlotaWoj]

A co oznacza zapis \(\displaystyle{ \left\langle \vec{x}, \left( 1,1 \right) \right\rangle=0}\) ?

[Jan Kraszewski]

Iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{x}}\) z \(\displaystyle{ (1,1)}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\) ?

JK

[jakub1998]

Mógłby ktoś to wytłumaczyć jak to nalezy rozpisać? Bo naprawdę tego nie rozumiem..

[Jan Kraszewski]

A w notatkach z wykładu nie masz iloczynu skalarnego wektorów?

JK

[SlotaWoj]

Nie trzeba rozpisywać. Wystarczy sobie wyobrazić.

Zadanie 1c.

Czym jest zbiór:

• \(\displaystyle{ \left\{\,\vec{x}\in\RR^3 : ||\,\vec{x}\,|| = 1 \right\,\}}\)

Gdy odpowiesz, to czym jest zbiór:

• \(\displaystyle{ \left\{\,\vec{x}\in\RR^3 : ||\,\vec{x}-(0;0;1)\,|| = 1 \right\,\}}\)

[jakub1998]

Mam tylko \(\displaystyle{ \left\langle \left( x_{1},...x_{n} \right) , \left( y_{1},...y_{n} \right) \right\rangle= \sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}}\)
własności typu, że jest to przemienne i mnożenie przez stałą, no i normę wektora, którą rozumiem że gdy mam \(\displaystyle{ ||x-y||}\) w \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\) to odległość między nimi, ale głównie rozchodzi się o to, że potrzebuję wytłumaczenia \(\displaystyle{ \left\langle \vec{x}, \left( 1,1 \right) \right\rangle}\), co to dokładnie znaczy. Jeśli między wektorem a \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest plus to to dodaję, a jeśli przecinek to mnożę obie współrzędne?

//up
No to są wszystkie wektory w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) mające długość \(\displaystyle{ 1}\), a to drugie to wszystkie wektory w \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\), które po przesunięciu trzeciej współrzędnej o \(\displaystyle{ 1}\) w dół mają długość \(\displaystyle{ 1}\), tak?

[Jan Kraszewski]

głównie rozchodzi się o to, że potrzebuję wytłumaczenia \(\displaystyle{ \left\langle \vec{x}, \left( 1,1 \right) \right\rangle}\), co to dokładnie znaczy. Jeśli między wektorem a \(\displaystyle{ (1,1)}\) jest plus to to dodaję, a jeśli przecinek to mnożę obie współrzędne?

Przecież \(\displaystyle{ \vec{x}=(x,y)}\) i \(\displaystyle{ (1,1)}\) są wektorami, więc masz zastosować wzór, który przytoczyłeś (a nie uczyć się magicznych metod typu "jeśli przecinek to mnożę obie współrzędne"), a który w przypadku dwuwymiarowym mam postać

\(\displaystyle{ \left\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\rangle=x_1x_2+y_1y_2.}\)

JK

[jakub1998]

No to według mnie zrobiłem te dwa przykłady które przytoczyłem na samym początku dobrze..
mnożę \(\displaystyle{ (x,y)}\) przez \(\displaystyle{ (1,1)}\), otrzymuję że \(\displaystyle{ x+y=0}\)
Drugie analogicznie, tylko w sumie znajduje się jeszcze \(\displaystyle{ z}\), czyli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)
Natomiast przy trzecim wychodzi mi
\(\displaystyle{ ||x,y,z-1||=1}\) co daje \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} } = 1}\)

[Jan Kraszewski]

No to według mnie zrobiłem te dwa przykłady które przytoczyłem na samym początku dobrze..
mnożę \(\displaystyle{ (x,y)}\) przez \(\displaystyle{ (1,1)}\), otrzymuję że \(\displaystyle{ x+y=0}\)
Drugie analogicznie, tylko w sumie znajduje się jeszcze \(\displaystyle{ z}\), czyli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\)

Ale ja nigdzie nie pisałem, że zrobiłeś je źle. Z Twojego pierwszego posta nie wynikało jednak, że je zrobiłeś, wyglądało, jakbyś znał odpowiedź i nie miał pojęcia, skąd się wzięła.

Natomiast przy trzecim wychodzi mi
\(\displaystyle{ ||x,y,z-1||=1}\) co daje \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} } = 1}\)

Dobrze, ale zdecydowanie lepiej jest opisać ten zbiór geometrycznie, a nie algebraicznie. Zresztą w poprzednich dwóch przykładach też dobrze jest wiedzieć, jak geometrycznie wygląda otrzymany zbiór.

JK

[jakub1998]

Więc w a) będzie to prosta \(\displaystyle{ y=-x}\), tak? Natomiast nie mam za bardzo wyobraźni przestrzennej, także z trzecim wymiarem będzie już gorzej.. Skoro zostałem upewniony, że rozumuję dobrze, jak wrócę z uczelni postaram się zrobić te dwa dowody niżej.

[SlotaWoj]

W interpretacji geometrycznej iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest iloczyn modułu jednego wektora przez moduł rzutu prostokątnego drugiego na kierunek pierwszego, z ewentualną zmianą znaku, gdy pierwszy wektor i rzut drugiego mają przeciwne zwroty. Wektory należy traktować jako swobodne i w przypadku przestrzeni trójwymiarowej przed rzutowaniem dobrze jest umieścić je na jednej płaszczyźnie.
To że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy 0 oznacza, że wektory te są prostopadłe.

W zadaniu 1 wektorem prostopadłym do wektora \(\displaystyle{ (1;1)}\) jest np. wektor \(\displaystyle{ (1;-1)}\), więc można zapisać:

• \(\displaystyle{ \left\{\vec{x}\in\RR^2:\left\langle\vec{x},\left(1;1\right)\right\rangle=0\right\}\Leftrightarrow\left\{\vec{x}\in\RR^2:\vec{x}=p\cdot\left(1;-1\right),\ p\in\RR\right\}}\)

Końce wektorów tworzące zbiór zdefiniowany w ww. sposób układają się wzdłuż prostej, której równanie podałeś.

[jakub1998]

W tych dowodach jednak nic dalej zabrnąć nie umiem, jedynie sobie wypisałem co dana rzecz znaczy:

\(\displaystyle{ \vec{x} = \left( x_{1},x_{2} \right) ;\\
\vec{y} = \left( y_{1},y_{2} \right) ;}\)

\(\displaystyle{ \left\langle \vec{x},\vec{y} \right\rangle=\sum_{i=1}^{n} \left( x_{1_{i}},x_{2_{i}} \right) \cdot \left( y_{1_{i}},y_{2_{i}} \right) \\
||\vec{x}+\vec{y}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left[ \left( x_{1_{i}},x_{2_{i}} \right) + \left( y_{1_{i}},y_{2_{i}} \right) \right] ^{2} }\\
||\vec{x}-\vec{y}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left[ \left( x_{1_{i}},x_{2_{i}} \right) - \left( y_{1_{i}},y_{2_{i}} \right) \right] ^{2} } \\
||\vec{x}|| = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( x_{1_{i}},x_{2_{i}} \right) ^{2}} \\
||\vec{y}|| = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} \left( y_{1_{i}},y_{2_{i}} \right) ^{2}}}\)
tak jest dobrze? a jeśli tak to co dalej mam zrobić, w tym a) psują mi pierwiastki nad normą wektora wynik, a w b) chciałem obustronnie spotęgować, ale wyszły pierdoły.