Podprzestrzenie Liniowe

[Ben_Kart]

Niech \(\displaystyle{ V1}\) oraz \(\displaystyle{ V2}\) będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ R
^{n}}\) nad \(\displaystyle{ R}\).
Przypomnijmy, że \(\displaystyle{ V1 + V2 = \left\{ v1 + v2 | v1 \in V1, v2 \in V2\right\}}\). Pokazać, że
nastepujące dwa warunki są równoważne:
• dla każdego wektora \(\displaystyle{ v \in V1 +V2}\) istnieje dokładnie jeden wektor \(\displaystyle{ v1 \in V1}\)
i jeden wektor \(\displaystyle{ v2 \in V2}\) taki, że \(\displaystyle{ v = v1 + v2}\),
• \(\displaystyle{ V1 \cap V2 = \left\{ 0\right\}}\).

No dobra, jakoś zdaje mi się że zrobiłem ten dowód nie najgorzej ale prosiłbym wytktnąc mi błędy, braki i za szybkie przejścia.

Tak, więc najpierw zrobię dowód w tę stronę \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

Ustalmy, że baza \(\displaystyle{ B1}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V1}\) składa się z \(\displaystyle{ k}\) wektorów,
czyli \(\displaystyle{ B1=\left( w1,...,wk\right)}\),
Ustalmy, że baza \(\displaystyle{ B2}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V2}\) składa się z \(\displaystyle{ l}\) wektorów,
czyli \(\displaystyle{ B2=\left( u1,...,ul\right)}\).

A więc \(\displaystyle{ v = v1+v2}\) mogę przedstawi jako:
\(\displaystyle{ v = \alpha1w1+...+ \alpha kwk+ \beta1u1+...+ \beta lul}\)
Z założenia wiemy że ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie czyli jest oznaczony, więc
układ jednorodny również jest oznaczony i jego jedynym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \alpha1 =....=\alpha k= \beta1=....= \beta l=0}\)
czyli dla \(\displaystyle{ v = 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ - \alpha1w1-... -\alpha kwk= \beta1u1+...+ \beta lul}\)
czyli: \(\displaystyle{ -v1=v2}\)(tu nie mam pewności czy trzeba coś doda w związku z tym minusem)
więc jedyny wektor równy w \(\displaystyle{ V1}\) i \(\displaystyle{ V2}\) to \(\displaystyle{ 0}\).
Ostatecznie mamy \(\displaystyle{ V1 \cap V2 = \left\{ 0\right\}}\).\(\displaystyle{ c.n.d.}\)

W drugą stronę byłoby analogicznie.

[Elvis]

Istotę rzeczy chyba zawarłeś, ale że prosisz o wytknięcie tego lub owego, to wytknę.

1. Wprowadzenie baz dla tych dwóch podprzestrzeni nic nie pomaga, jedynie zaciemnia sytuację. Ogólnie warto unikać wprowadzania baz, kiedy tylko jest taka możliwość (to moja opinia, ale mogę ją uzasadnić).

2. Większość dowodu wydaje się być "nie na temat". Czytelnik spodziewa się, że skoro dowodzisz implikacji, to dowód zacznie się od frazy "załóżmy, że \(\displaystyle{ v}\) jest wektorem należącym do przecięcia \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2}\)", a zakończy się na "dlatego \(\displaystyle{ v=0}\)", albo jakoś podobnie. Postaraj się pisać w taki sposób, żeby ów hipotetyczny czytelnik znalazł to, czego szuka (chyba że naprawdę wiesz, co robisz).
Wydaje mi się, że podobny ciąg logiczny dzieje się w okolicy Twojego "czyli: \(\displaystyle{ -v1=v2}\)", ale pewien nie jestem.

3. Do uzyskania indeksu dolnego służy "_", np. \(\displaystyle{ a_b}\).