Przestrzenie dualne/sprzężone

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Przestrzenie dualne/sprzężone

Post autor: max123321 »

Znaleźć bazę \(\displaystyle{ \left( \RR^3\right)^*}\) dualną do bazy \(\displaystyle{ \alpha_1=\left( 1,1,1\right),\alpha_2=\left( 1,1,0\right),\alpha_3=\left( 1,0,0\right)}\) w \(\displaystyle{ \RR^3}\)
\(\displaystyle{ v_1,...,v_m}\)-baza \(\displaystyle{ v}\)
\(\displaystyle{ v_1^*,v_2^*,...,v_m^*}\)-baza \(\displaystyle{ v^*}\) dualna do bazy.

Może mi ktoś wytłumaczyć jak chłopu na miedzy co się tutaj dzieje? Co to są te przestrzenie dualne/sprzężone i o co chodzi w tym zadaniu?? Ominąłem kilka wykładów i za nic nie mogę tego zrozumieć .
Awatar użytkownika
Peter Zof
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 585
Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 66 razy

Przestrzenie dualne/sprzężone

Post autor: Peter Zof »

Cześć. O przestrzeniach dualnych znajdziesz bardzo dużo informacji w internecie, nie tylko na wikipedii. W każdym razie przestrzeń dualna do przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) to nic innego jak zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych postaci \(\displaystyle{ f \colon \mathcal{V} \rightarrow \mathbb{F}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) jest ciałem nad, którym Twoja przestrzeń jest rozpięta. W Twoim przypadku, przestrzenią jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) więc przestrzeń dualna to funkcje "idące" z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (które są liniowe). W tej przestrzeni masz określone pojęcia dodawania dwóch takich funkcjonałów i mnożenia ich przez skalary. Dowodzi się, że jest to przestrzeń liniowa rozpięta nad tym samym ciałem co wyjściowa przestrzeń. Pojęcie bazy zostało zdefiniowane w każdej przestrzeni liniowej i uważam za dobre ćwiczenie, abyś sobie rozpisał co to znaczy, że elementy przestrzeni dualnej \(\displaystyle{ v_1^{*},\dots,v_n^{*}}\) stanowią bazę przestrzeni. Twoje ostatnie pytanie dotyczy tak zwanej bazy dualnej. Jeśli znów \(\displaystyle{ \mathcal{V}}\) jest przestrzenią liniową i \(\displaystyle{ v_1,\dots,v_n}\) są wektorami bazowymi tej przestrzeni, to dla każdego z nich definiujemy wektor dualny \(\displaystyle{ v_i^{*}}\) w bardzo prosty sposób - mianowicie \(\displaystyle{ v_i^{*}\left(\sum_{k=1}^{n}\alpha_k v_k\right):=\alpha_i}\). Ja to sobie wyobrażam tak, że ten wektor dualny \(\displaystyle{ v_i^{*}}\), dla każdego wektora \(\displaystyle{ v \in \mathcal{V}}\) "mierzy" jak bardzo ten wektor jest "wyskalowany" wzdłuż osi rozpiętej przez wektor \(\displaystyle{ v_i}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Przestrzenie dualne/sprzężone

Post autor: max123321 »

Dobra to spróbuję to zapisać.
Skoro \(\displaystyle{ v_1^{*},\dots,v_m^{*}}\) tworzą bazę przestrzeni, to jeśli weźmiemy dowolny wektor \(\displaystyle{ w \in V^*}\) to:
\(\displaystyle{ w=a_1v_1^*+a_3v_2^*+...+a_mv_m^*}\) i to jest funkcjonał, czyli możemy chyba zapisać, że:
\(\displaystyle{ W\left( \alpha\right)=\left( a_1v_1^*+a_3v_2^*+...+a_mv_m^*\right)\left( \alpha\right)}\)
I teraz to się pewnie jakoś sprowadzi do tego, tylko nie wiem dlaczego:
\(\displaystyle{ W\left( \alpha\right)= a_1v_1^*\left( \alpha\right)+a_3v_2^*\left( \alpha\right)+...+a_mv_m^*\left( \alpha\right)}\)
I teraz chyba możemy podstawiać wektory bazowe, tylko też nie wiem czy to coś da:
\(\displaystyle{ W\left( 1,1,1\right)=a_1v_1^*\left(1,1,1)+a_3v_2^*\left(1,1,1)+...+a_mv_m^*\left(1,1,1)}\)
To pierwszy wektor bazowy czyli \(\displaystyle{ v_1^*\left(1,1,1)=1,v_2^*\left(1,1,1)=0,...,v_m^*\left(1,1,1)=0}\):
\(\displaystyle{ W\left( 1,1,1\right)=a_1}\)
Analogicznie:
\(\displaystyle{ W\left( 1,1,0\right)=a_2}\)
\(\displaystyle{ W\left( 1,0,0\right)=a_3}\)

Tak jest dobrze?? I co dalej z tym??
ODPOWIEDZ