Znaleźć \(\displaystyle{ X \in M\left( 2 \times 2,\RR\right)}\) spełniające równanie:
a) \(\displaystyle{ X^2=\left[ \begin{array}{cc}4&1\\0&4\end{array}\right]}\)
b) \(\displaystyle{ X^2=\left[ \begin{array}{cc}4&0\\0&4\end{array}\right]}\)
Jak to się robi?? Jaka metoda?
Znaleźć macierz
-
kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
Znaleźć macierz
Oznacz
\(\displaystyle{ X=\left[ \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
i policz \(\displaystyle{ X ^{2}= X \cdot X}\) a potem przyrównaj odpowiednie wyrazy macierzy.
\(\displaystyle{ X=\left[ \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
i policz \(\displaystyle{ X ^{2}= X \cdot X}\) a potem przyrównaj odpowiednie wyrazy macierzy.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Znaleźć macierz
Metoda kropki+ jest uniwersalna, ale skutkuje nawet dla macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) nieprzyjemnym w rozwiązywaniu układem aż czterech niewiadomych (jeżeli się przyjrzymy - możemy na starcie zredukować \(\displaystyle{ c}\) do zera).
Podana macierz w podpunkcie a) jest górnotrójkątna - nie zawiera niezerowych elementów pod główną diagonalną. Potęgi takiej macierzy pozostają górnotrójkątne. Macierze tej postaci na głównej mają swoje wartości własne, jest jasne, że \(\displaystyle{ k}\)-ta potęga macierzy tej postaci będzie mieć na swojej przekątnej \(\displaystyle{ k}\)-te potęgi tychże wartości własnych. Zatem, skoro macierz \(\displaystyle{ X^2}\) jest postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 0 & 4\end{bmatrix}}\)
to jej macierzowy pierwiastek będzie jednej z dwóch postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & x \\ 0 & 2\end{bmatrix} \text{ lub }\begin{bmatrix}-2 & y \\ 0 & -2\end{bmatrix}}\)
ponieważ pierwiastkami \(\displaystyle{ 4}\) są liczby \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) (ponadto wyznaczniki macierzy muszą się zgadzać na mocy twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu, zatem kombinacje mieszane \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) nie są dozwolone). Dzięki temu sprowadzamy przykład do dwóch przypadków z jedną zmienną do wyznaczenia, która powinna wyjść \(\displaystyle{ x=-y=\tfrac{1}{4}}\).
Jeżeli macierz jest w postaci diagonalnej, zadanie jest jeszcze prostsze. Potęgi macierzy diagonalnych istnieją (wśród liczb zespolonych, jeżeli nie w rzeczywistych*) i składają się z potęg wyrazów na głównej przekątnej. Dzięki tej wiedzy przykład b) można od razu zgadnąć.
Nadmienię, że przypadku problemu znajdowania wszystkich rozwiązań, możemy mieć pewne trudności wynikające z niejednoznaczności \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix}^2 =\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}^2}\)
podobnie
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}^2}\)
Co więcej, podana macierz ma nieskończenie wiele rozkładów na kwadraty. Na szczęście zadanie polega na znalezieniu tylko jednej macierzy spełniającej podane równanie.
Podana macierz w podpunkcie a) jest górnotrójkątna - nie zawiera niezerowych elementów pod główną diagonalną. Potęgi takiej macierzy pozostają górnotrójkątne. Macierze tej postaci na głównej mają swoje wartości własne, jest jasne, że \(\displaystyle{ k}\)-ta potęga macierzy tej postaci będzie mieć na swojej przekątnej \(\displaystyle{ k}\)-te potęgi tychże wartości własnych. Zatem, skoro macierz \(\displaystyle{ X^2}\) jest postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 0 & 4\end{bmatrix}}\)
to jej macierzowy pierwiastek będzie jednej z dwóch postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & x \\ 0 & 2\end{bmatrix} \text{ lub }\begin{bmatrix}-2 & y \\ 0 & -2\end{bmatrix}}\)
ponieważ pierwiastkami \(\displaystyle{ 4}\) są liczby \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) (ponadto wyznaczniki macierzy muszą się zgadzać na mocy twierdzenia Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu, zatem kombinacje mieszane \(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -2}\) nie są dozwolone). Dzięki temu sprowadzamy przykład do dwóch przypadków z jedną zmienną do wyznaczenia, która powinna wyjść \(\displaystyle{ x=-y=\tfrac{1}{4}}\).
Jeżeli macierz jest w postaci diagonalnej, zadanie jest jeszcze prostsze. Potęgi macierzy diagonalnych istnieją (wśród liczb zespolonych, jeżeli nie w rzeczywistych*) i składają się z potęg wyrazów na głównej przekątnej. Dzięki tej wiedzy przykład b) można od razu zgadnąć.
Nadmienię, że przypadku problemu znajdowania wszystkich rozwiązań, możemy mieć pewne trudności wynikające z niejednoznaczności \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix}^2 =\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}^2}\)
podobnie
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}^2}\)
Co więcej, podana macierz ma nieskończenie wiele rozkładów na kwadraty. Na szczęście zadanie polega na znalezieniu tylko jednej macierzy spełniającej podane równanie.