Przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ \varphi:\RR^4 \rightarrow \RR^3}\) będzie dane wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi\left( x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left( x_1+2x_2-x_3+3x_4,2x_1+5x_2+x_3+7x_4,x_1+2x_2-4x_3+2x_4\right)}\).
a)Znaleźć bazę jądra przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\).
b)Niech \(\displaystyle{ Z=\left\{ \psi\in L\left( \RR^2,\RR^4\right)|\varphi\circ \psi=0 \right\}}\). Znaleźć wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ Z}\). Podać przykład (podając wzór) takiego przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \psi :\RR^2 \rightarrow \RR^4}\), ze \(\displaystyle{ \psi\in Z}\) i rząd \(\displaystyle{ \psi}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

Głównie tu chciałem zapytać o b) bo
Co do a) to chyba nie ma tu większej filozofii, po prostu trzeba te wszystkie współrzędne przyrównać do zera i rozwiązać, wyjdą jakieś wektorki.

Natomiast b) to nie wiem, jak zrobić. Jakieś pomysły?
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: NogaWeza »

Czym jest \(\displaystyle{ L\left( \RR^2,\RR^4\right)}\)?
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

Też nie wiedziałem na początku, ale to jest przestrzeń przekształceń liniowych z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\).
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: NogaWeza »

Z tego co piszesz \(\displaystyle{ \psi}\) jest przekształceniem, a potem piszesz, że jego wymiar ma być \(\displaystyle{ 2}\). Coś tu nie gra. Musi chodzić albo o wymiar jądra, albo o wymiar obrazu tego odwzorowania. Sprecyzuj.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

Nie piszę, że wymiar, ale, że rząd.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: NogaWeza »

Dobra, przeoczyłem. Chyba nawet wiem jak to zadanie zrobić.

\(\displaystyle{ \varphi}\) to przekształcenie liniowe reprezentowane przez macierz wymiaru \(\displaystyle{ 3 \times 4}\), zaś \(\displaystyle{ \psi}\) przez macierz wymiaru \(\displaystyle{ 4 \times 2}\).

Składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy tych przekształceń.
\(\displaystyle{ \varphi \circ \psi = 0}\), więc \(\displaystyle{ A_{\varphi} A_{\phi} = 0_{3 \times 2}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\2&5&1&7\\1&2&-4&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\\a_3&b_3\\a_4&b_4\end{array}\right] = 0}\)

To będzie spełnione, gdy wektory \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) tworzące macierz \(\displaystyle{ A_{\psi}}\) będą wektorami należącymi do jądra \(\displaystyle{ \varphi}\). Jeśli dasz dwa różne wektory z tego jądra to rząd będzie \(\displaystyle{ 2}\) (byłby \(\displaystyle{ 1}\) gdybyś dał \(\displaystyle{ a=b}\)).

Następnie z macierzowej postaci \(\displaystyle{ \psi}\) możesz odtworzyć jawny wzór tego przekształcenia.
ODPOWIEDZ