Znaleść baze przestrzeni taką, ze ...

edzioedzio55 · Post autor: **edzioedzio55** » 12 gru 2016, o 16:41

Znaleźć bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V = { (x-y, 3y, 2y-x, 2x ): x,yin R}}\). Znaleźć bazę tej przestrzeni, w której wszystkie współrzędne wektora \(\displaystyle{ (1,3,0,4)}\) są równe 4.
(Rozwiąż przy pomocy macierzy i bez nich)

Z pierwsza częścią nie mam problemu.
\(\displaystyle{ vin V}\)
\(\displaystyle{ v=x(1,0,-1,2)+y(-1,3,2,0)}\)
sprawdzam że wektory są liniowo niezależne -> tak są

więc bazą jest np. układ wektorów \(\displaystyle{ ((1,0,-1,2),(-1,3,2,0))}\)

Nie wiem jak zrobić drugą cześć próbowałem

\(\displaystyle{ egin{bmatrix} "" & "" \ "" & "" \ "" & "" \ "" & "" end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} gamma \ delta end{bmatrix} =egin{bmatrix} 4 \ 4 \ 4 \ 4 end{bmatrix}}\)

zastanawiałem się też nad macierzą identyczności

\(\displaystyle{ egin{bmatrix} "" & "" & "" & "" \ "" & "" & "" & "" \ "" & "" & "" & "" \ "" & "" & "" & "" end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} 1 \ 3 \ 0 \ 4 end{bmatrix} =egin{bmatrix} 4 \ 4 \ 4 \ 4 end{bmatrix}}\)

ale tu trzeba, aż 16 liter wyznaczyć. Z góry dzięki za nakierowanie-- 12 gru 2016, o 17:07 --Próbowałem takze jak tu, ale z tego nic nie wychodzi, i wedlug mnie jest bez sensu.
305866.htm

dochodze do \(\displaystyle{ alpha_1 + alpha_2 = frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ eta_1 + eta_2 = frac{1}{4}}\)

M Maciejewski · Post autor: **M Maciejewski** » 12 gru 2016, o 20:16

Przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) jest dwuwymiarowa, więc każdy wektor ma tylko dwie współrzędne (a nie 4).
Zobaczmy, jakie ma współrzędne ten wektor w znalezionej bazie:

\(\displaystyle{ av_1+bv_2=a(1,0,-1,2)+b(-1,3,2,0)=(1,3,0,4)}\). Znajdujemy, że \(\displaystyle{ a=2,b=1}\).

Zatem w bazie \(\displaystyle{ v_1/2,v_2/4}\) wektor będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ (4,4)}\).

edzioedzio55 · Post autor: **edzioedzio55** » 13 gru 2016, o 10:16

Okej dzięki za pomoc.
Pytanie mam takie: Czy te 4 liczby opisujące wektor tej przestrzeni też mogę nazywać współrzędnymi wektora? Jeśli tak to w jakiej są bazie? także tej \(\displaystyle{ (v_1, v_2)}\).
Z góry dzięki za pomoc.

M Maciejewski · Post autor: **M Maciejewski** » 13 gru 2016, o 13:38

Wg mnie nie można tego nazwać współrzędnymi w \(\displaystyle{ V}\). Tak, jak napisałem, przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) jest dwuwymiarowa, więc w dowolnej jej bazie każdy wektor będzie miał dokładnie dwie współrzędne.

Można, ale w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^4}\) z bazą kanoniczną, ponieważ \(\displaystyle{ (1,3,0,4)=1\cdot(1,0,0,0)+3\cdot(0,1,0,0)+0\cdot(0,0,1,0)+4\cdot(0,0,0,1)}\).

edzioedzio55 · Post autor: **edzioedzio55** » 14 gru 2016, o 12:40

Okej dziękuję za odpowiedź i pomoc