Odwzorowanie jest odwzorowaniem liniowym w przestrzeni R3

[Gotek]

Pokaż, że odwzorowanie \(\displaystyle{ T(x, y, z) = (x-y, y-x, x-z)}\) jest odwzorowaniem liniowym w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\). Rozważmy wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) i bazę \(\displaystyle{ \beta}\) zadane przez:

\(\displaystyle{ \vec{v} = (1,1,2)}\), \(\displaystyle{ \beta = \{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}}\)

a)Znajdź współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) oraz reprezentację macierzową \(\displaystyle{ |T| _{ \beta }}\) operatora \(\displaystyle{ T}\) w bazie \(\displaystyle{ \beta}\)
b)Następnie oblicz \(\displaystyle{ |T( \vec{v} )| _{ \beta }}\) i przekonaj się, że \(\displaystyle{ |T| _{ \beta }| \vec{v} | _{ \beta } =|T( \vec{v} )| _{ \beta }}\)

[Poszukujaca]

W czym problem przy sprawdzaniu czy jest to odwzorowanie liniowe? Bierzemy warunki z definicji i sprawdzamy.