Dowód z wektorami własnymi macierzy

[glodzia]

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) - macierze zespolone wymiaru \(\displaystyle{ 2\times 2}\) i mają takie same wektory własne, to \(\displaystyle{ AB = BA}\).

Nie wiem jak to ruszyć.

\(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\) i na tym koniec

[M Maciejewski]

Niech \(\displaystyle{ A= P\circ J_A\circ P^{-1}}\) oraz \(\displaystyle{ B = Q\circ J_B\circ Q^{-1}}\) (rozkład Jordanowski). Ponieważ wektory własne są takie same, można założyć, że \(\displaystyle{ P=Q}\). Zatem
\(\displaystyle{ A\circ B = P\circ J_A\circ P^{-1}\circ P\circ J_B\circ P^{-1}=P\circ J_A\circ J_B\circ P^{-1}}\).

Podobnie \(\displaystyle{ B\circ A}\). Teza wynika z \(\displaystyle{ J_AJ_B=J_BJ_A}\).

[glodzia]

No tak, a co jeśli

\(\displaystyle{ J _{a} = \begin{bmatrix} \lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ J_{b} = \begin{bmatrix} \mu_{1}&1\\0&\mu_{2} \end{bmatrix}}\)

Wtedy niestety ale ich iloczyn nie jest przemienny

[a4karo]

Ale wtedy masz
\(\displaystyle{ J _{a} = \begin{bmatrix} \lambda&0\\0&\lambda \end{bmatrix}=\lambda I

J_{b} = \begin{bmatrix} \lambda&1\\0&\lambda \end{bmatrix}}\)

[M Maciejewski]

Glodzio, przecież napisałaś, że rozważasz macierze zespolone. Tam macierze Jordana są diagonalne.

[glodzia]

Czyli, że rozważamy jedynie przypadek, że obie macierze\(\displaystyle{ J_{A} i J_{B}}\) są diagonalne i wychodzi?

[Benny01]

Jeśli działasz w ciele zespolonym to wielomian charakterystyczny będzie miał zawsze dwa pierwiastki (dwie wartości własne), czyli macierz Jordana to będzie po prostu macierz diagonalna.

[glodzia]

A czy taki dowód jest poprawny?

skoro \(\displaystyle{ \exists x,y \neq 0}\) takie, że

\(\displaystyle{ Ax=\lambda_{1} x}\) oraz \(\displaystyle{ Bx=\mu_{1} x}\)
\(\displaystyle{ Ay=\lambda_{2} y}\) oraz \(\displaystyle{ By=\mu_{2} y}\)

to

\(\displaystyle{ ABx = A\mu_{1}x = \mu_{1}\lambda_{1}x = B\lambda_{1}x = BAx}\)

analogicznie \(\displaystyle{ ABy = BAy}\)

wobec tego \(\displaystyle{ AB = BA}\)

[a4karo]

Jeśli działasz w ciele zespolonym to wielomian charakterystyczny będzie miał zawsze dwa pierwiastki (dwie wartości własne), czyli macierz Jordana to będzie po prostu macierz diagonalna.

A jak będzie w takim razie wyglądała diagonalizacja macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\0&1\end{bmatrix}}\) ?

[Benny01]

No może trochę nie do końca precyzyjnie się wyraziłem

[M Maciejewski]

O rany, odpowiedziałem na szybko i niestety bez sensu. Przepraszam.
W treści zadania jest mowa o tym, że mają takie same wektory własne. W Twoim przypadku jedna macierz ma wektory własne (1,0) i (0,1), a druga ma jedynie (1,0) (wektor (0,1) nie jest w.w.).-- 11 gru 2016, o 15:30 --Dlatego jedyne możliwe sytuacje to: obie macierze są diagonalne albo obie macierze są postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda&1\\0&\lambda\end{bmatrix}}\).

[glodzia]

M Maciejewski, dlaczego ta druga ma tylko wektor własny (1,0)?