Niech \(\displaystyle{ \phi:\RR^4 \rightarrow \RR^4}\) ma w bazie standartowej macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}2&1&0&2\\0&0&1&1\\-1&-2&-1&-2\\-1&1&0&-1\end{array}\right]}\)
Znajdź jądro i obraz tego przekształcenia.
Jak to zrobić??
Znajdź jądro i obraz
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Znajdź jądro i obraz
By wyznaczyć jądro zgodnie z definicją, należałoby sprawdzić, dla jakich wektorów \(\displaystyle{ \phi([x,y,z,t])=[0,0,0,0]}\). Sprowadza się to do rozwiązania układu liniowego:
\(\displaystyle{ \phi([x,y,z,t])=\left[ \begin{array}{cccc}2&1&0&2\\0&0&1&1\\-1&-2&-1&-2\\-1&1&0&-1\end{array}\right]\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix}}\)
Jeżeli wykonamy to zadanie poprawnie, uzyskamy \(\displaystyle{ x=y=z=t=0}\), a więc jedynie wektor zerowy należy do jądra przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi}\).
Obrazem przekształcenia liniowego jest zawsze (pod)przestrzeń liniowa. By ją wyznaczyć, można zauważyć, że wystarczy wyznaczyć wartości podanego operatora jedynie na wektorach bazowych: obraz operatora liniowego jest przestrzenią liniową rozpiętą na wartościach \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_1)}\), \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_2)}\), \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_3)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_4)}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_i}\) jest wektorem bazowym, tj. \(\displaystyle{ \phi([1,0,0,0])}\), \(\displaystyle{ \phi([0,1,0,0])}\) itd.
Na szczęście nie musimy wyznaczać tych wartości - są one kolejnymi kolumnami macierzy przekształcenia liniowego. Obraz \(\displaystyle{ \phi(\mathbb{R}^4)}\) rozpięty jest zatem na wektorach:
\(\displaystyle{ \phi(\mathbb{R}^4)=\text{lin}([2,0,-1,-1],[1,0,-2,1],[0,1,-1,0],[2,1,-2,-1])}\)
Możemy się przekonać, że podany układ wektorów jest liniowo niezależny, a więc tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Zatem przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach bazowych musi pokrywać się z całą przestrzenią - obrazem przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)
Podany przykład można rozwiązać znacznie szybciej, ale będziemy musieli znać podstawowe fakty z algebry liniowej. Jeżeli przyjrzymy się uważnie, wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego jest niezerowy. To znaczy, że przekształcenie to jest odwracalne, a więc z konieczności różnowartościowe. W przypadku przekształceń liniowych różnowartościowość jest tożsama z faktem, iż \(\displaystyle{ \ker \phi = \{0\}}\), gdzie podane \(\displaystyle{ 0}\) oznacza wektor zerowy - czyli jądro jest, tak jak już wykazaliśmy, jednoelementowe.
Jeżeli przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n}\) jest różnowartościowe, to okazuje się, że już automatycznie jest surjektywne, a więc jego obraz jest całą przestrzenią. Dokładniej, twierdzenie o rzędzi mówi, że
\(\displaystyle{ n = \dim \ker \phi + \dim \text{im} \phi}\)
Jeżeli wymiar jądra wynosi \(\displaystyle{ 0}\), wymiar obrazu musi wynosić \(\displaystyle{ n}\), w naszym przypadku \(\displaystyle{ n=4}\).
Oczywiście, jeżeli okazałoby się, że macierz przekształcenia liniowego ma zerowy wyznacznik, musimy obraz i jądro wyznaczać ręcznie.
\(\displaystyle{ \phi([x,y,z,t])=\left[ \begin{array}{cccc}2&1&0&2\\0&0&1&1\\-1&-2&-1&-2\\-1&1&0&-1\end{array}\right]\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix}}\)
Jeżeli wykonamy to zadanie poprawnie, uzyskamy \(\displaystyle{ x=y=z=t=0}\), a więc jedynie wektor zerowy należy do jądra przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi}\).
Obrazem przekształcenia liniowego jest zawsze (pod)przestrzeń liniowa. By ją wyznaczyć, można zauważyć, że wystarczy wyznaczyć wartości podanego operatora jedynie na wektorach bazowych: obraz operatora liniowego jest przestrzenią liniową rozpiętą na wartościach \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_1)}\), \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_2)}\), \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_3)}\) oraz \(\displaystyle{ \phi(\epsilon_4)}\), gdzie \(\displaystyle{ \epsilon_i}\) jest wektorem bazowym, tj. \(\displaystyle{ \phi([1,0,0,0])}\), \(\displaystyle{ \phi([0,1,0,0])}\) itd.
Na szczęście nie musimy wyznaczać tych wartości - są one kolejnymi kolumnami macierzy przekształcenia liniowego. Obraz \(\displaystyle{ \phi(\mathbb{R}^4)}\) rozpięty jest zatem na wektorach:
\(\displaystyle{ \phi(\mathbb{R}^4)=\text{lin}([2,0,-1,-1],[1,0,-2,1],[0,1,-1,0],[2,1,-2,-1])}\)
Możemy się przekonać, że podany układ wektorów jest liniowo niezależny, a więc tworzy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Zatem przestrzeń liniowa rozpięta na wektorach bazowych musi pokrywać się z całą przestrzenią - obrazem przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)
Podany przykład można rozwiązać znacznie szybciej, ale będziemy musieli znać podstawowe fakty z algebry liniowej. Jeżeli przyjrzymy się uważnie, wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego jest niezerowy. To znaczy, że przekształcenie to jest odwracalne, a więc z konieczności różnowartościowe. W przypadku przekształceń liniowych różnowartościowość jest tożsama z faktem, iż \(\displaystyle{ \ker \phi = \{0\}}\), gdzie podane \(\displaystyle{ 0}\) oznacza wektor zerowy - czyli jądro jest, tak jak już wykazaliśmy, jednoelementowe.
Jeżeli przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n}\) jest różnowartościowe, to okazuje się, że już automatycznie jest surjektywne, a więc jego obraz jest całą przestrzenią. Dokładniej, twierdzenie o rzędzi mówi, że
\(\displaystyle{ n = \dim \ker \phi + \dim \text{im} \phi}\)
Jeżeli wymiar jądra wynosi \(\displaystyle{ 0}\), wymiar obrazu musi wynosić \(\displaystyle{ n}\), w naszym przypadku \(\displaystyle{ n=4}\).
Oczywiście, jeżeli okazałoby się, że macierz przekształcenia liniowego ma zerowy wyznacznik, musimy obraz i jądro wyznaczać ręcznie.