Rząd macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 1 lis 2016, o 18:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Będzin
- Podziękował: 19 razy
Rząd macierzy
Znajdź rząd macierzy:
\(\displaystyle{ $$A= \left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right] \qquad}\)
Istnieje jakiś sprawny sposób na wyliczenie tego? Wiem, że odpowiedź to 2 i jakbym miał liczyć wszystko po kolei to bym prędzej wykitował na zawał niż to policzył. Więc tutaj pytanie czy profesor chciał zrobić fajny dowcip czy jest jakiś sposób na wyliczenie tego rzędu macierzy?
\(\displaystyle{ $$A= \left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right] \qquad}\)
Istnieje jakiś sprawny sposób na wyliczenie tego? Wiem, że odpowiedź to 2 i jakbym miał liczyć wszystko po kolei to bym prędzej wykitował na zawał niż to policzył. Więc tutaj pytanie czy profesor chciał zrobić fajny dowcip czy jest jakiś sposób na wyliczenie tego rzędu macierzy?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Rząd macierzy
Eliminacja Gaussa zawsze działa, ale można ułatwić sobie sprawę, jeżeli mamy wyznaczyć rzad macierzy. Wiadomo, że rząd macierzy nie przekracza minimalnego z wymiarów, można wykreślić bez obaw dwa pierwsze wiersze:
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)}\)
Ponadto, pierwszy wiersz jest taki sam jak trzeci i ostatni - te dwa powtórzone są ewidentnie liniowo zależne i można je wykreślić.
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right)}\)
Znowu jeden z wymiarów jest większy od drugiego: możemy poskreślać nadmiarowe kolumny:
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right=r\left(\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 5\end{array} \right]\right)}\)
Mamy macierz kwadratową, która, jak łatwo się przekonać, ma niezerowy wyznacznik. Zatem rząd takiej macierzy jest pełny i w tym wypadku wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)}\)
Ponadto, pierwszy wiersz jest taki sam jak trzeci i ostatni - te dwa powtórzone są ewidentnie liniowo zależne i można je wykreślić.
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right)}\)
Znowu jeden z wymiarów jest większy od drugiego: możemy poskreślać nadmiarowe kolumny:
\(\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right=r\left(\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 5\end{array} \right]\right)}\)
Mamy macierz kwadratową, która, jak łatwo się przekonać, ma niezerowy wyznacznik. Zatem rząd takiej macierzy jest pełny i w tym wypadku wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
Ostatnio zmieniony 6 gru 2016, o 18:23 przez JakimPL, łącznie zmieniany 1 raz.
Rząd macierzy
A dlaczego te dwa pierwsze? Niestety ten fragment jest błędnyWiadomo, że rząd macierzy nie przekracza minimalnego z wymiarów, można wykreślić bez obaw dwa pierwsze wiersze:
Rząd macierzy
A skąd myśl, że można skreślić dowolne dwa w ogóle?
Weź macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right]\right)}\)
I skreśl dwa pierwsze. CO wychodzi?
Skreślimy dwa pierwsze i mamy rząd \(\displaystyle{ 1}\), skreślimy inne i co wtedy?
Weź macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right]\right)}\)
I skreśl dwa pierwsze. CO wychodzi?
Skreślimy dwa pierwsze i mamy rząd \(\displaystyle{ 1}\), skreślimy inne i co wtedy?
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Rząd macierzy
Och, faktycznie, zgadza się, dziękuję za zwrócenie uwagi. Natomiast, natomiast, prostując mój post, można wykreślić wiersze powtarzające się i liniowo zależne.
Ostatnio zmieniony 6 gru 2016, o 18:30 przez JakimPL, łącznie zmieniany 1 raz.
Rząd macierzy
Wtedy zgoda.JakimPL pisze:Och, faktycznie, zgadza się. Natomiast, natomiast, prostując mój post, można wykreślić wiersze powtarzające się i liniowo zależne.