Rząd macierzy

Qwertyluk · Post autor: **Qwertyluk** » 6 gru 2016, o 18:03

Znajdź rząd macierzy:

$\displaystyle{ $$A= \left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right] \qquad}$

Istnieje jakiś sprawny sposób na wyliczenie tego? Wiem, że odpowiedź to 2 i jakbym miał liczyć wszystko po kolei to bym prędzej wykitował na zawał niż to policzył. Więc tutaj pytanie czy profesor chciał zrobić fajny dowcip czy jest jakiś sposób na wyliczenie tego rzędu macierzy?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 6 gru 2016, o 18:05

Eliminacja Gaussa idealnie działa

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 6 gru 2016, o 18:21

Eliminacja Gaussa zawsze działa, ale można ułatwić sobie sprawę, jeżeli mamy wyznaczyć rzad macierzy. Wiadomo, że rząd macierzy nie przekracza minimalnego z wymiarów, można wykreślić bez obaw dwa pierwsze wiersze:

$\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 6 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -5\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)}$

Ponadto, pierwszy wiersz jest taki sam jak trzeci i ostatni - te dwa powtórzone są ewidentnie liniowo zależne i można je wykreślić.

$\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\\ 2 & 3 & 2 & 1 & -3\end{array} \right]\right)=r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right)}$

Znowu jeden z wymiarów jest większy od drugiego: możemy poskreślać nadmiarowe kolumny:

$\displaystyle{ r\left(\left[ \begin{array}{ccccc}3 & 5 & 1 & 1 & -7\\ 1 & 1 & 3 & 1 &1\end{array} \right]\right=r\left(\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 3 & 5\end{array} \right]\right)}$

Mamy macierz kwadratową, która, jak łatwo się przekonać, ma niezerowy wyznacznik. Zatem rząd takiej macierzy jest pełny i w tym wypadku wynosi $\displaystyle{ 2}$.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 6 gru 2016, o 18:22

Wiadomo, że rząd macierzy nie przekracza minimalnego z wymiarów, można wykreślić bez obaw dwa pierwsze wiersze:

A dlaczego te dwa pierwsze? Niestety ten fragment jest błędny

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 6 gru 2016, o 18:23

Można wykreślić dowolne dwa. Czemu więc nie pierwsze?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 6 gru 2016, o 18:27

A skąd myśl, że można skreślić dowolne dwa w ogóle?

Weź macierz

$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right]\right)}$

I skreśl dwa pierwsze. CO wychodzi?

Skreślimy dwa pierwsze i mamy rząd $\displaystyle{ 1}$, skreślimy inne i co wtedy?

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 6 gru 2016, o 18:30

Och, faktycznie, zgadza się, dziękuję za zwrócenie uwagi. Natomiast, natomiast, prostując mój post, można wykreślić wiersze powtarzające się i liniowo zależne.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 6 gru 2016, o 18:30

JakimPL pisze:Och, faktycznie, zgadza się. Natomiast, natomiast, prostując mój post, można wykreślić wiersze powtarzające się i liniowo zależne.

Wtedy zgoda.