Podaj macierz, w standardowych bazach, przekształcenia liniowego f: \(\displaystyle{ R^{3}->R^{4}}\) takiego, że Ker f = lin ((2, 2, 2), (2, 2, 3)) oraz im f \(\displaystyle{ \subset}\) W, gdzie W jest podprzestrzenią w \(\displaystyle{ R^{4}}\) opisaną układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{4} = 0\\ 3x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{4} = -2x_{1}-3x_{2} \\ x_{3}= 5x_{1}+4x_{2} \end{cases}}\)
W = lin ((1, 0, 5, -2), (0, 1, 4, -3))
Czyli im f = lin ((1, 0, 5, -2)) lub im f = lin ((0, 1, 4, -3))
1° dla im f = lin ((1, 0, 5, -2))
Niech f ((0, 1, 0)) = (1, 0, 5, -2)
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccccccc}
2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 & -2
\end{array} \right)
\rightarrow
\left( \begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 & 2\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 5 & -2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)}\)
Zatem macierz przekształcenia dla
im f = lin ((1, 0, 5, -2)) to
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
-5 & 5 & 0 \\
2 & -2 & 0 \\
\end{array} \right)}\)
2° dla im f = lin ((0, 1, 4, -3))
Niech f ((0, 1, 0)) = (0, 1, 4, -3)
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccccccc}
2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 & -3
\end{array} \right)
\rightarrow
\left( \begin{array}{ccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4 & 3\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4 & -3\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)}\)
Zatem macierz przekształcenia dla
im f = lin ((0, 1, 4, -3)) to
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
3 & -3 & 0 \\
\end{array} \right)}\)
Nie wiem czy mam to tak zostawić, czy obie macierze sprowadzić do postaci [1, -1, 0] i czy w ogóle to jest dobrze zrobione.