Zbadać czy zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni

[letta]

\(\displaystyle{ W= { (x,y) \in R ^{2} : x^{2}+y ^{2}=0 \wedge x=y } , V=R ^{2}}\)

\(\displaystyle{ W= {(x, y, z, t) \in R ^{4}: x ^{2}=4y ^{2} }, V= R ^{4}}\)

Na zajęciach robiliśmy to w taki sposób, że braliśmy sobie dwa dowolne wektory o współrzędnych np. \(\displaystyle{ \vec{v}_{1}= ( x_{1}, y_{1} ), \vec{v}_{2}= (x_{2}, y_{2})}\), mnożyliśmy przez skalar odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha_{1} , \alpha_{2}}\), sumowaliśmy te wektory i sprawdzaliśmy warunek/ warunki danego zbioru z tymi nowymi współrzędnymi.
Problem mam z tymi warunkami z potęgą. Podstawiam sobie te nowe współrzędne do warunków, liczę ze wzorów skróconego mnożenia te kwadraty i nie wiem co mam dalej robić.
Tu moje pytanie: Jest to spowodowane tym, że to w tych przypadkach z kwadratem ma nie wyjść podprzestrzenią (przez tą część \(\displaystyle{ 2ab}\) ), czy po prostu gdzieś popełniam błąd?

[Premislav]

Co do pierwszego, to skoro \(\displaystyle{ x=y \wedge x^2+y^2=0}\), to \(\displaystyle{ 2x^2=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=0}\). Zatem do \(\displaystyle{ W}\) należy tylko punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) - i jest to (trywialna) podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\).
W drugim gołym okiem widać, że nie jest to podprzestrzeń liniowa. Sprawdź np. wektory
\(\displaystyle{ (2,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (-2,1,0,0)}\). Czy ich suma spełnia warunek \(\displaystyle{ x^2=4y^2}\)?