Przestrzeń bidualna

[Peter Zof]

Cześć!

Zastanawiam się nad pewną kwestią. Rozważmy przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) i jej przestrzeń bidualną (algebraiczną) \(\displaystyle{ V^{**}}\).
Dla bycia konkretnym napiszę tylko, że \(\displaystyle{ V^*:=\{\phi \colon V \rightarrow K \colon \phi - liniowe \}}\). Oczywiście kładziemy \(\displaystyle{ V^{**}:=\left(V^{*}\right)^{*}}\). Istnieje naturalny homomorfizm \(\displaystyle{ \Phi \colon V \rightarrow V^{**}}\), który definiuje się w taki sposób, że dla ustalonego \(\displaystyle{ v \in V}\) kładziemy \(\displaystyle{ (\Phi(v))(\phi):=\phi(v)}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ \phi \in V^*}\). Homomorfizm \(\displaystyle{ \Phi}\) jest zawsze różnowartościowy, wiadomo też że jest on "na" wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ dimV < \infty}\). Rozumiem, że ogólnie jest tak, że \(\displaystyle{ V}\) jest izomorficzna z \(\displaystyle{ V^{**}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ dimV<\infty}\)? Implikacja z prawej w lewo wynika z powyższego faktu, jednak nie wiem za bardzo jak pokazać drugą.

[Dualny91]

Implikacja z prawej w lewo faktycznie wynika z powyższego, a nawet z faktu, że \(\displaystyle{ V}\) jest izomoficzne z \(\displaystyle{ V^{*}}\) dla skończenie wymiarowej p-ni \(\displaystyle{ V}\). Natomiast implikacja z lewej w prawą stronę jest nieprawdziwa.

[Slup]

Wątpię czy komuś się będzie chciało to czytać. Strasznie to długie i toporne.

Trzeba udowodnić pewien lemat z teorii mnogości.

Lemat o super rodzinach.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem nieskończonej mocy. Wówczas istnieje rodzina parami różnych podzbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), która jest liniowo uporządkowana przez inkluzję oraz \(\displaystyle{ |I|=|2^X|}\).

dowód lematu o super rodzinach(jeśli kogoś to interesuje). Najpierw:
definicja. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym oraz \(\displaystyle{ S}\) będzie jego podzbiorem. Powiemy, że \(\displaystyle{ S}\) jest prawie-gęsty w \(\displaystyle{ L}\) jeżeli dla dowolnych \(\displaystyle{ l_1<l_2}\) w \(\displaystyle{ L}\) istnieje \(\displaystyle{ s\in S}\) taki, że \(\displaystyle{ l_1\leq s\leq l_2}\).

Przeprowadzimy dowód dla \(\displaystyle{ |X|=\aleph_0}\).

Ukryta treść:    

Dla innych mocy rozumowanie przeprowadza się analogicznie tylko trzeba korzystać z twierdzenia Zermelo.

Możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ X=\mathbb{N}}\).

Ukryta treść:    

W ogólnym przypadku możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym i jego typ porządkowy odpowiada najmniejszej liczbie porządkowej mocy \(\displaystyle{ |X|}\).

Weźmy teraz zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) uporządkowany liniowo przez porządek leksykograficzny. Konkretnie \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}<(b_n)_{n\in \mathbb{N}}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ n_0\in \mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ a_n=b_n}\) dla \(\displaystyle{ n<n_0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n_0}<b_{n_0}}\).

Ukryta treść:    

Zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^X}\) uporządkowany liniowo przez porządek leksykograficzny.

Teraz definiujemy zbiór \(\displaystyle{ S=\{(a_n)_{n\in \mathbb{N}}\in \{0,1\}^{\mathbb{N}}\mid \exists_{n_0\in \mathbb{N}}\,\forall_{n>n_0}\,a_n=0\}}\)

Ukryta treść:    

Ogólnie \(\displaystyle{ S=\{(a_x)_{x\in X}\in \{0,1\}^X\mid \exists_{x_0\in X}\,\forall_{x>x_0}\,a_x=0\}}\)

Łatwo zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ S}\) ma moc \(\displaystyle{ |\mathbb{N}|=\aleph_0}\) oraz jest prawie-gęsty w liniowo uporządkowanym zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\).

Ukryta treść:    

Ogólnie \(\displaystyle{ S}\) jest mocy \(\displaystyle{ |X|}\) oraz jest prawie-gęsty w liniowo uporządkowanym zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1\}^X}\).

To teraz oznaczamy \(\displaystyle{ I=\{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) oraz
\(\displaystyle{ A_i=\{s\in S\mid s\leq i\}\subseteq S}\)

Ukryta treść:    

To teraz oznaczamy \(\displaystyle{ I=\{0,1\}^{X}}\) oraz
\(\displaystyle{ A_i=\{s\in S\mid s\leq i\}\subseteq S}\)

Można sprawdzić, że \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ S}\). Jest też liniowo uporządkowana przez inkluzję. Zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\).

Ukryta treść:    

W ogólnym przypadku \(\displaystyle{ S}\) jest mocy \(\displaystyle{ |X|}\).

To kończy dowód.

Ok. To teraz niech \(\displaystyle{ k}\) będzie ciałem i \(\displaystyle{ V=k^{\oplus X}}\) będzie przestrzenią wektorową nad tym ciałem, gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończonej mocy (\(\displaystyle{ V}\) jest sumą prostą \(\displaystyle{ X}\)-kopii ciała \(\displaystyle{ k}\)). Mamy
\(\displaystyle{ V^*=\mathrm{Hom}_k(V,k)=\mathrm{Hom}_k(k^{\oplus X},k)\cong k^{X}}\)
(\(\displaystyle{ k^{X}}\) jest produktem \(\displaystyle{ X}\)-kopii ciała \(\displaystyle{ k}\)).
Z lematu o super rodzinach istnieje super rodzina \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) gdzie \(\displaystyle{ |I|=|2^X|}\). Rozpatrzmy wektor \(\displaystyle{ v_i\in k^{X}}\) taki, że
\(\displaystyle{ v_i(x)=\begin{cases}1 \mbox{ dla }x\in A_i\\
0 \mbox{ dla }x\not\in A_i
\end{cases}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\). Tutaj \(\displaystyle{ v(x)}\) oznacza \(\displaystyle{ x}\)-tą współrzedną wektora \(\displaystyle{ v\in k^X}\). Z tego, że \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) jest super rodziną wynika, że \(\displaystyle{ \{v_i\}_{i\in I}}\) tworzy układ liniowo niezależny w \(\displaystyle{ k^X}\). Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ \mathrm{dim}(V^*)=\mathrm{dim}(k^X)\geq |I|=|2^X|>|X|=\mathrm{dim}(V)}\)

[jutrvy]

Modulo ten lemat poczytaj o przestrzeniach refleksywnych, to powinno rozwiać Twoje wątpliwości.

[Slup]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią Banacha. Wówczas \(\displaystyle{ X^*}\) oznacza zazwyczaj ciągłe funkcjonały liniowe na \(\displaystyle{ X}\) i wtedy faktycznie się zdarza, że
\(\displaystyle{ X\cong X^{**}}\)
bo ciągłych funkcjonałów jest znacznie mniej niż wszystkich funkcjonałów. W tym temacie bierzemy po prostu wszystkie funkcjonały liniowe na \(\displaystyle{ X}\), a to zmienia postać rzeczy. Dlatego też Twoja uwaga o przestrzeniach refleksywnych nie jest kontrprzykładem do
\(\displaystyle{ +\infty=\mathrm{dim}(V)\, \Leftrightarrow V\not \cong V^*}\)
dla \(\displaystyle{ V}\) przestrzeni wektorowej i \(\displaystyle{ V^*}\) przestrzeni wszystkich funkcjonałów na \(\displaystyle{ V}\).
Zresztą na to stwierdzenie nie ma kontrprzykładu, bo jest ono prawdziwe.

[Peter Zof]

Modulo ten lemat poczytaj o przestrzeniach refleksywnych, to powinno rozwiać Twoje wątpliwości.

No tak, ale ogólnie ludzie tam definiują to w przypadku nieskończenie wymiarowym dla topologicznych duali, a nie algebraicznych. Jednak spoko, dzięki wszystkim, już ogarnąłem.

[jutrvy]

Ale ja przecież nie twierdziłem, że to jest kontrprzykład...