Przekształcenie liniowe

[Mlody Banach]

Niech \(\displaystyle{ f, g : V \rightarrow W}\) będą przekształceniami liniowymi przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V, W}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\). Załóżmy, że dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ v \in V}\) istnieje taki skalar \(\displaystyle{ \lambda _{v} \in K,}\) że \(\displaystyle{ f(v) =\lambda _{v}g(v).}\) Wykaż, że istnieje wtedy taki skalar \(\displaystyle{ \lambda \in K}\), że \(\displaystyle{ f = \lambda g.}\)
Moje pytania: co znaczy \(\displaystyle{ \lambda \in K}\), że \(\displaystyle{ f = \lambda g.}\)? Czy to znaczy, że jedno przekształcenie liniowe jest ileś tam razy większe/mniejsze od drugiego? Czy jakoś mogę to utożsamiać z funkcjami? Jaka będzie najprostsza metoda dowodu?

[Poszukujaca]

Zastanowiło mnie Twoje stwierdzenie, że przekształcenie liniowe jest mniejsze/większe. Nie mówi się o takich własnościach odwzorowań.

Zapis \(\displaystyle{ f = \lambda g}\) oznacza, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) przeprowadza wektory \(\displaystyle{ v}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ f(v)}\) jest iloczynem pewnego skalaru (czyli \(\displaystyle{ \lambda}\) ) i wartości \(\displaystyle{ g(v)}\).

Możesz skojarzyć to z funkcjami, z których jedna zadane \(\displaystyle{ \lambda}\) razy większe wartości niż druga dla tych samych argumentów.

[Mlody Banach]

Czyli udowodnić idąc ku sprzeczności, że nie ma takiego \(\displaystyle{ \lambda}\) ale wtedy nie istniało by \(\displaystyle{ \lambda _{v}}\)? Chyba to nie dowodzi niczego... Na czym ma polegać ogólny przypadek? Że dla każdego takiego przekształcenia istneje taka \(\displaystyle{ \lambda}\)?

[Slup]

Jestem pewny, że młody Stefan Banach bez najmniejszego problemu poradziłby sobie z tym zadaniem.

Weźmy dwa wektory \(\displaystyle{ v, w\in V}\) takie, że \(\displaystyle{ g(w)\neq 0}\).
Załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ g(v)}\) i \(\displaystyle{ g(w)}\) są liniowo niezależne. Wówczas
\(\displaystyle{ \lambda_{v+w}\cdot g(v)+\lambda_{v+w}\cdot g(w)=\lambda_{v+w}\cdot g(v+w)=f(v+w)=f(v)+f(w)=}\)
\(\displaystyle{ =\lambda_v\cdot g(v)+\lambda_w\cdot g(w)}\)
czyli
\(\displaystyle{ (\lambda_{v+w}-\lambda_v)\cdot g(v)+(\lambda_{v+w}-\lambda_w)\cdot g(w)=0}\)
Na mocy liniowej niezależności \(\displaystyle{ g(v)}\) i \(\displaystyle{ g(w)}\) dostajemy, że
\(\displaystyle{ \lambda_{v+w}-\lambda_v=0,\lambda_{v+w}-\lambda_w=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \lambda_v=\lambda_{v+w}=\lambda_w}\).
Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ g(v)}\) i \(\displaystyle{ g(w)}\) są liniowo zależne. Wówczas istnieje \(\displaystyle{ \alpha\in k\setminus \{0\}}\) taka, że
\(\displaystyle{ g(v)-\alpha\cdot g(w)=0}\)
Dalej otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(v-\alpha w)=\lambda_{v-\alpha w}\cdot g(v-\alpha w)=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ f(v)=\alpha\cdot f(w)}\). Stąd wynika, że
\(\displaystyle{ \lambda_v\cdot \alpha \cdot g(w)=\lambda_v\cdot g(v)=f(v)=\alpha \cdot f(w)=\alpha \cdot \lambda_w\cdot g(w)}\)
czyli \(\displaystyle{ \lambda_v\cdot g(w)=\lambda_w\cdot g(w)}\). Z \(\displaystyle{ g(w)\neq 0}\) wynika, że \(\displaystyle{ \lambda_v=\lambda_w}\).
Reasumując pokazaliśmy, że jeśli \(\displaystyle{ v,w\in V}\) są dowolnymi wektorami takimi, że \(\displaystyle{ g(w)=0}\), to \(\displaystyle{ \lambda_w=\lambda_v}\).
To kończy zadanie. Dlatego, że wystarczy wziąć wektor \(\displaystyle{ w_0\in V}\) taki, że \(\displaystyle{ g(w)\neq 0}\) i oznaczyć \(\displaystyle{ \lambda=\lambda_{w_0}}\). Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in V}\) mamy \(\displaystyle{ \lambda_v=\lambda_{w_0}=\lambda}\)
czyli \(\displaystyle{ f(v)=\lambda\cdot g(v)}\).
Jeżeli takie \(\displaystyle{ w_0}\) nie istnieje, to \(\displaystyle{ g}\) jest przekształceniem zerowym i wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest przekształceniem zerowym. Wówczas każdy skalar \(\displaystyle{ \lambda\in k}\) spełnia warunki zadania.