Cztery zadania z macierzy

[paleon]

Witam, bez dłuższego wstępu:
1. Udowodnij, że iloczyn macierzy trójkątnych górnych jest macierzą trójkątną górną.
Tego nie potrafię zrobić dobrym sposobem. Wiem, że tak jest i mogę powiedzieć, że każdy element "ponad" przekątną powstaje w wyniku sumy iloczynów w których jeden czynnik jest równy \(\displaystyle{ 0}\), ale to raczej nie jest wystarczające.

2. Macierz ortogonalna \(\displaystyle{ A\in \RR ^{n \times n}}\). Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ AX\left( A ^{T} \right) ^{2} = -I ^{3}}\), ze względu na niewiadomą macierz \(\displaystyle{ X}\). (\(\displaystyle{ I}\) macierz jednostkowa)
Czy \(\displaystyle{ I ^{3} = I}\)?
Rozwiązałem w ten sposób, chociaż jest według mnie zbyt prosty
\(\displaystyle{ AXA ^{-2} = -I}\), stąd żeby otrzymać tożsamość:
\(\displaystyle{ AX =- A ^{2}}\)
\(\displaystyle{ AX = -AA}\), co daje:
\(\displaystyle{ X = -A}\) co jest odpowiedzią.

3. Sprawdź, czy \(\displaystyle{ AB = BA \Rightarrow \left( A + B\right) ^{3} = A ^{3} + 3A ^{2}B + 3AB ^{2}+B ^{3}}\)
Podobne zadanie \(\displaystyle{ \left( A + B\right) ^{2} = A ^{2} + 2AB + B ^{2}}\) rozwiązałem podając kontrprzykład, tutaj jednak nie wiem od czego zacząć. Próbowałem wyłączać przed nawias, porządkować, ale nic z tego. Dodatkowe pytanie, czy z założenia wynika, że \(\displaystyle{ A = B ^{-1}}\)?

4. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ A =\left[ a _{ij} \right]_{i,j=1}^{n}}\) jest macierzą ortogonalną to...
Tutaj prosiłbym tylko o rozjaśnienie definicji tej macierzy, resztę postaram się zrobić sam, a jeśli mi się nie powiedzie to zgłoszę się ponownie. Czy chodzi o macierz kwadratową \(\displaystyle{ n \times n}\)?

[Premislav]

Zadanie drugie masz dobrze. Tak, \(\displaystyle{ I^3=I}\).

Co do zadania trzeciego, to byłbyś może tak uprzejmy i podał ten kontrprzykład na
\(\displaystyle{ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2}\)? Moja intuicja mówi, że jeśli\(\displaystyle{ AB=BA}\), to
nawet ogólnie \(\displaystyle{ (A+B)^n= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}A^k B^{n-k}}\)
i wydaje mi się, że umiem to udowodnić indukcyjnie.

[paleon]

W tym zadaniu nie było powiedziane nic na temat tej równości, jest ona tylko w tym, z którym mam problem i to właśnie ona powoduje, że implikacja jest prawdziwa. Może faktycznie nie jasno się wyraziłem. A kontrprzykładem były macierze:

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ B = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]}\)

[NogaWeza]

Kiedyś takie cholerstwo robiłem przez indukcję, możesz sobie podpatrzeć 394131.htm

[paleon]

Liczyłem właśnie na coś łatwego, bo to zadanie (3) nawet nie miało gwiazdki, ale Twój sposób jest bardzo przydatny, dziękuję serdecznie.