Przestrzenie liniowe

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) mającą bazę nieskończoną \(\displaystyle{ \left\{ \alpha_i\right\} _{i \in \NN}}\), gdzie \(\displaystyle{ \NN}\) oznacza zbiór liczb naturalnych. Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) niech \(\displaystyle{ V_n=lin\left( \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\right) \subset V}\). Wykazać, że dla każdej skończenie wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ W \subset V}\) istnieje \(\displaystyle{ n \in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ W \subset V_n}\).

No to próbuję zrobić dowód.
Weźmy dowolną podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\). Niech będzie \(\displaystyle{ k}\)- wymiarowa czyli ma \(\displaystyle{ k}\) wektorów bazowych :\(\displaystyle{ \beta_1,...,\beta_k}\). Ale, wiemy, że każdy z tych wektorów da się uzyskać poprzez kombinację liniową jakiś wektorów \(\displaystyle{ \alpha_{i1},...,\alpha_{im}}\) z \(\displaystyle{ V}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ge k}\) i \(\displaystyle{ i1<i2<...<im}\). Weźmy zatem \(\displaystyle{ n=im}\).Biorąc kolejne wektory \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\) uzyskamy przestrzeń \(\displaystyle{ V_n}\) generującą \(\displaystyle{ W}\), której wektory są niezależne zatem \(\displaystyle{ W \subset V_n}\).

Dobrze? Ma to jakiś sens?

[Peter Zof]

Zapisu bym się czepiał, ale rozumowanie jest (moim zdaniem) poprawne. Subiektywność wyraźnie podkreślam z uwagi później pory.