Niezależność liniowa wektrów

[paleon]

Witam. Mam następujące zadanie:
Sprawdź liniową zależność wektorów
\(\displaystyle{ 1,x, x^{2},...,x ^{n}}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ (\pi _{n},+,*)}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\)

Rozwiązałem je w następujący sposób:
\(\displaystyle{ w\left( x\right) = \alpha _{0} *1 + \alpha _{1}*x + ... + \alpha _{n}*x ^{n} = 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
i teraz biorę współczynnik przy najwyższej potędze \(\displaystyle{ \alpha _{n}}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ \alpha _{n} \neq 0}\)

teraz \(\displaystyle{ \alpha _{n} > 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty } w\left( x\right) = \infty}\)

oraz \(\displaystyle{ \alpha _{n} < 0 \Rightarrow \lim_{x \to \infty } w\left( x\right) = - \infty}\)

Stąd \(\displaystyle{ \alpha _{n} = 0}\)

Następnie powtarzam dla \(\displaystyle{ n-1, n-2, ..., 0}\), co dowodzi, że są liniowo niezależne.
Są ponadto bazą tej przestrzeni, ale żeby to udowodnić musiałbym najpierw dowieść ich liniową niezależność, czyli nic mi to nie daje. (?)

Mam kilka pytań:
1. Czy moje rozwiązanie jest poprawne?
2. Czy zero w tej równości jest zwykłym zerem, czy stałą funkcją \(\displaystyle{ f\left( x\right) = 0}\)
3. Czy sumę tych wektorów powinienem traktować jako sumę funkcji, czy jako poszczególne wartości dla ustalonych \(\displaystyle{ x}\)?
4. Istnieje lepsze rozwiązanie tego zadania? Jeśli tak, to jakie? (będę wdzięczny za każdą uwagę/ sugestię)

[Premislav]

Co do Twoich pytań:
1. Rozwiązanie jest poprawne i dość sprytne.
2. Ta druga możliwość.
3. Nie do końca rozumiem. Możesz rozwinąć, co masz na myśli?
4. Nie sądzę, żeby istniało lepsze rozwiązanie.

[paleon]

3 pytanie jest powiązane z drugim. Chodziło mi o to, czy mogę to rozpatrywać jako zwykły wielomian z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i współczynnikami \(\displaystyle{ \alpha _{0} ,..., \alpha _{n}}\), czy potrzebne są jakieś bardziej zaawansowane metody?

[Premislav]

Nie są potrzebne bardziej zaawansowane metody.

[paleon]

Dziękuję za pomoc!