Izomorfizm przestrzeni.

[pawlo392]

Trudno mi zrozumieć to zagadanie, ale próbuje uporać się z takim poleceniem.
Zbadać czy przestrzenie \(\displaystyle{ U/(U \cap V)}\) oraz \(\displaystyle{ U+V/V}\) są izomorficzne.
Najpierw takie moje intuicyjne spojrzenie na to.
Gdy z przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) "wyrzucimy" jakiś "kawałek" który należał również do przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) to otrzymamy dalej przestrzeń tę przestrzeń \(\displaystyle{ U}\) bez tego "kawałka".
Co do drugiego przypadku to jeśli dodamy algebraicznie przestrzenie \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\) i "wyrzucimy" przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) to otrzymamy to samo \(\displaystyle{ U}\) co wcześniej, jeśli miały cześć wspólną. Zdają sobie sprawę, że takie myślenie jest zapewne niepoprawne.
Ale gdyby tak było to miałbym odwzorowanie \(\displaystyle{ f: U \rightarrow U}\).
\(\displaystyle{ kerf=\left\{ 0\right\}}\). Czyli miałbym monomorfizm.

[Yelon]

Jeśli z \(\displaystyle{ U}\) wyrzucasz kawałek, który należał również do \(\displaystyle{ V}\), to miałbyś \(\displaystyle{ f: U\setminus V \longrightarrow U}\), ale gdy z przestrzeni \(\displaystyle{ U+V}\) czyli generowanej przez \(\displaystyle{ \left\{ u+v \ : \ u\in U \wedge v\in V\right\}}\) "wyrzucisz" \(\displaystyle{ V}\), to w przeciwdziedzinie również masz \(\displaystyle{ U\setminus V}\), gdyż wyrzucasz też część wspólną (bo też była generowana przez wektory \(\displaystyle{ v\in V}\).

Zatem Twoje odwzorowanie wygląda bardziej jak \(\displaystyle{ f : U\setminus V \longrightarrow U\setminus V}\).

[pawlo392]

Jeśli z \(\displaystyle{ U}\) wyrzucasz kawałek, który należał również do \(\displaystyle{ V}\), to miałbyś \(\displaystyle{ f: U\setminus V \longrightarrow U}\), ale gdy z przestrzeni \(\displaystyle{ U+V}\) czyli generowanej przez \(\displaystyle{ \left\{ u+v \ : \ u\in U \wedge v\in V\right\}}\) "wyrzucisz" \(\displaystyle{ V}\), to w przeciwdziedzinie również masz \(\displaystyle{ U\setminus V}\), gdyż wyrzucasz też część wspólną (bo też była generowana przez wektory \(\displaystyle{ v\in V}\).

Zatem Twoje odwzorowanie wygląda bardziej jak \(\displaystyle{ f : U\setminus V \longrightarrow U\setminus V}\).

No tak, masz racje. Ale to nie zmienia tego że jądrem tego odwzorowania będzie \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). Wydaje mi się, że widać że mamy tu surjeckję. Jednak nie wiem, jak mogę to udowodnić. To odwzorowanie, jak widać będzie zachowywać kombinacje liniowe, prawda?

[Dualny91]

Po pierwsze : symbol \(\displaystyle{ /}\) oznacza przestrzeń ilorazową, a nie różnicę zbiorów.
Po drugie : jeśli omyłkowo miałoby chodzić o różnice zbiorów, to przecież izomorfizm przestrzeni liniowych ma być funkcją między przestrzeniami liniowymi... Do każdej przestrzeni liniowej należy \(\displaystyle{ 0}\), więc różnica dwóch podprzestrzeni liniowych nigdy nie jest przestrzenią liniową, bo nie zawiera zera.

Żeby zadanie miało sens masz więc:
\(\displaystyle{ U/(U \cap V)=\{x+ (U \cap V) \colon x \in U\}, (U+V)/V=\{z+V \colon z=x+y \in U+V, x \in U, y \in V \}}\)
z naturalnie zdefiniowanymi działaniami.

Jeśli \(\displaystyle{ V \subset U}\) to sprawa jest oczywista, bo wtedy te przestrzenie są po prostu tym samym obiektem.

[pawlo392]

To zadanie okazało się proste, licząc wymiary tych przestrzeni.