Liniowa niezależność wektorów.

[pawlo392]

Pierwszy problem:
Mamy wektory \(\displaystyle{ \sin x , \sin 2x , \sin 3x , \sin 4x ....}\)
Drugi problem :
Mamy wektory \(\displaystyle{ \sin x , \sin^2 x , sin^3 x , sin^4 x......}\)
W przypadku gdy było to skończone to szukaliśmy odpowiednich \(\displaystyle{ x}\) aby wyzerować skalary. A w tych przypadkach nie nie mam pomysłu.

[clue]

Pokaż, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}\sin x +\alpha _{2} \sin 2x+...+ \alpha _{n}\sin nx=0}\)

[pawlo392]

Pokaż, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}\sin x +\alpha _{2} \sin 2x+...+ \alpha _{n}\sin nx=0}\)

Jak wezmę \(\displaystyle{ x=0}\) to wyzeruje mi się wszystko. Więc chyba wystarczy tylko taki \(\displaystyle{ x}\) wziąć aby stwierdzić liniową niezależność.

[clue]

Układ nieskończenie wielu wektorów jest liniowo niezależny jeśli dowolny jego podzbiór jest liniowo niezależny, czyli gdy zachodzi implikacja
\(\displaystyle{ \alpha _{1}\sin x +\alpha _{2} \sin 2x+...+ \alpha _{n}\sin nx=0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=...=\alpha _{n}=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\).

Zatem Twoje rozumowanie nie jest do końca dobre.

[pawlo392]

clue, Dziękuje, to dużo mi rozjaśniło.

[a4karo]

"wskazówka" clue niestety do niczego nie prowadzi. To z tego faktu trzeba wydedukowac że wszystkie alfy są zerami.

[pawlo392]

"wskazówka" clue niestety do niczego nie prowadzi. To z tego faktu trzeba wydedukowac że wszystkie alfy są zerami.

Czyli nie mogę sobie wziąć takiego podzbioru: \(\displaystyle{ a_1 \sin x + a_2 \sin2x}\) i tylko na tym się opierać?

[clue]

"wskazówka" clue niestety do niczego nie prowadzi. To z tego faktu trzeba wydedukowac że wszystkie alfy są zerami.

Do czegoś jednak prowadzi bo jest napisane co dokładnie trzeba pokazać a autorowi chyba o to chodziło.-- 30 lis 2016, o 21:25 --

Czyli nie mogę sobie wziąć takiego podzbioru: \(\displaystyle{ a_1 \sin x + a_2 \sin2x}\) i tylko na tym się opierać?

Nie. Musisz wykazać ogólnie że powyższa implikacja zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\).

[Premislav]

Możesz, tylko inaczej. Ja bym to zrobił tak:

indukcja po \(\displaystyle{ n}\). Pokazujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jeżeli
\(\displaystyle{ \alpha_1 \sin x+\dots+\alpha_n \sin nx=0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\),
to \(\displaystyle{ \alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\)

\(\displaystyle{ \textbf{1}^{\circ}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\) nie ma problemu; jeśli \(\displaystyle{ \alpha_1\sin x=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to \(\displaystyle{ \alpha=0}\), bo np. \(\displaystyle{ \sin \frac \pi 2 \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \textbf{2}^{\circ}}\) Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nasza teza:
jeśli \(\displaystyle{ \alpha_1 \sin x+\dots+\alpha_n \sin nx=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to \(\displaystyle{ \alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\). Pokażemy, że wówczas także teza zachodzi dla \(\displaystyle{ n+1}\), tj. jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_1\sin x+\dots+\alpha_{n+1} \sin (n+1)x=0}\), to \(\displaystyle{ \alpha_1=\dots=\alpha_{n+1}=0}\)

Mój pomysł na dowód nie jest bardzo trudny, ale wymaga trochę analizy matematycznej.
Rozpatrzmy \(\displaystyle{ f(x)=\alpha_1\sin x+\dots+\alpha_{n+1} \sin (n+1)x}\).
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha_i}\) są takie, iż
1)\(\displaystyle{ \alpha_1\sin x+\dots+\alpha_{n+1} \sin (n+1)x\equiv 0}\)
Wówczas także \(\displaystyle{ f''(x)\equiv 0}\). Ale ze wzoru na pochodną sumy mamy
2)\(\displaystyle{ f''(x)=-\alpha_1\sin x-\dots-(n+1)^2 \sin (n+1)x\equiv 0}\)
Pomnóżmy 1) stronami przez \(\displaystyle{ (n+1)^2}\), a otrzymamy:
3)\(\displaystyle{ (n+1)^2\alpha_1\sin x+\dots+(n+1)^2\sin (n+1)x\equiv 0}\)
Dodając 2) i 3) stronami, otrzymujemy:
4)\(\displaystyle{ \alpha_1((n+1)^2-1)\sin x+\alpha_2((n+1)^2-4)\sin 2x+\dots+\alpha_n((n+1)^2-n^2)\sin nx \equiv 0}\)
Z założenia indukcyjnego i 4) wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ \alpha_1((n+1)^2-1)=\dots=\alpha_n((n+1)^2-n^2)=0}\),
ale iloczyn jest zerem, kiedy chociaż jeden czynnik jest zerem, więc wobec tego
\(\displaystyle{ \alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\)
i \(\displaystyle{ f(x)=\alpha_1 \sin x+\dots+\alpha_{n+1}\sin(n+1)x \equiv 0}\) redukuje się do
\(\displaystyle{ \alpha_{n+1}\sin(n+1)x \equiv 0,}\) skąd i \(\displaystyle{ \alpha_{n+1}=0}\), co kończy dowód drugiego kroku indukcyjnego.

[pawlo392]

Premislav, Naprawdę wielkie dzięki. Bardzo to pomogło i na pewno się przyda.

[a4karo]

Pokaż, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}\sin x +\alpha _{2} \sin 2x+...+ \alpha _{n}\sin nx=0}\)

Chodziło mi o te "wskazówkę ".

Two now trzeba pokazać, tylko trzeba to założyć i wywnioskować, że alfy są zerami.

[clue]

Pokaż, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}\sin x +\alpha _{2} \sin 2x+...+ \alpha _{n}\sin nx=0}\)

Chodziło mi o te "wskazówkę ".

Two now trzeba pokazać, tylko trzeba to założyć i wywnioskować, że alfy są zerami.

Faktycznie, to mogło zmylić autora.

[a4karo]

To ja może zaproponuję coś takiego:
przypuśćmy, że \(\displaystyle{ n}\) jest najmniejszą taka liczbą, że \(\displaystyle{ \sin nx}\) jest kombinacja liniową wektorów \(\displaystyle{ \sin x,\dots,\sin (n-1)x}\)

wynika stąd, że wektory \(\displaystyle{ \sin x,\dots,\sin (n-1)x}\) są liniowo niezależne i tworzą bazę przestrezni, do której należy \(\displaystyle{ \sin nx}\). Zatem \(\displaystyle{ \sin nx}\) przedstawia się JEDNOZNACZNIE jako kombinacja liniowa
\(\displaystyle{ \sin nx=a_1\sin x+\dots+a_{n-1}\sin (n-1)x}\)

Różniczkując tę tozsamość dwukrotnie dostajemy, że
\(\displaystyle{ \sin nx=\frac{a_1}{n^2}\sin x+\dots+\frac{a_{n-1}}{n^2}\sin (n-1)x}\).

Ta niejednoznacznośc przedstawienia daje sprzeczność z założeniem.-- 30 lis 2016, o 22:33 --Niezależnośc układu \(\displaystyle{ sin x,sin^2 x+,\dots}\) jest jeszcze prostsza:
Jeżeli \(\displaystyle{ a_1\sin x+a_2\sin^2x+\dots+a_n\sin^n x=0}\), to dzielimy przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i kłądziemy \(\displaystyle{ x=0}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ a_1=0}\). Kolejne takie same operacje pokazują \(\displaystyle{ a_2=\dots=a_n=0}\)