Czy istnieje przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

Czy dla każdych niezerowych wektorów \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ R}\) istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \phi :V \rightarrow V}\) takie, że \(\displaystyle{ \phi \left( \alpha\right)=\gamma=\phi \left( \beta\right)}\)??

Jak to zrobić?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: Premislav »

Znaleźć kontrprzykład.

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie niezerowym wektorem z przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\), niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie pewnym niezerowym wektorem i niech \(\displaystyle{ \beta=\alpha+\alpha}\) (i \(\displaystyle{ \alpha+\alpha \neq \vec{0}}\)).
Załóżmy nie wprost, że takie \(\displaystyle{ \phi}\) istnieje. Wówczas ponieważ \(\displaystyle{ \phi(\beta)=\phi(\alpha)}\), to z liniowości mamy \(\displaystyle{ \phi(\beta-\alpha)=\vec{0}}\), a z drugiej strony
\(\displaystyle{ \phi(\alpha)=\gamma \neq \vec{0}}\). Sprzeczność.
Ten kontrprzykład nie działa np. w przestrzeni nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\), ale co poradzić... Nie mam abstrakcyjnego myślenia. W każdym razie z mojego argumentu wynika, że to przekształcenie nie musi istnieć (tj. są przestrzenie, w których istnieją niezerowe wektory, dla których takie przekształcenie nie będzie istniało).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

a skąd wiesz, że \(\displaystyle{ \phi(\beta)=\phi(\alpha)}\)??
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: Premislav »

Z założenia nie wprost i z treści zadania???????
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

No, ale \(\displaystyle{ \beta=2\alpha}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: Premislav »

No i? Takie dobrałem. Chyba nie rozumiesz treści zadania lub struktury dowodu nie wprost.

Pytanie jest o to, czy dla wszystkich niezerowych wektorów \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma \in V}\) istnieje przekształcenie liniowe, dla którego zachodzi
\(\displaystyle{ \phi \left( \alpha\right)=\gamma=\phi \left( \beta\right)}\). Ja wybieram dowolne niezerowe \(\displaystyle{ \alpha}\) (bo nie znam przestrzeni, w ostateczności mógłbym wziąć jej wersor), do tego \(\displaystyle{ \beta=2\alpha}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) dowolne niezerowe i pokazuję, że takie przekształcenie nie może istnieć dla tak dobranych wektorów.

Np. w \(\displaystyle{ \RR^2}\) można wziąć \(\displaystyle{ \alpha=(1,0), \beta=(2,0), \gamma=(0,1)}\). Ale chodziło mi o kontrprzykład działający ogólnie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

Aha no okej kapuję . Ale chyba tu nie musimy pokazywać, że dla każdej przestrzeni to nie zachodzi(w szczególności \(\displaystyle{ \ZZ_2}\)), tylko w jednej wystarczy.

A jeszcze wyjaśnij mi skąd jest to:
\(\displaystyle{ \phi(\beta-\alpha)=\vec{0}}\)
Intuicyjnie wyczuwam, że to z def. przek. lin. ale nie widzę tego do końca.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: Premislav »

A jeszcze wyjaśnij mi skąd jest to:
\(\displaystyle{ \phi(\beta-\alpha)=\vec{0}}\)
Intuicyjnie wyczuwam, że to z def. przek. lin. ale nie widzę tego do końca.
Intuicja Cię nie zawodzi. \(\displaystyle{ \phi}\) jako przekształcenie liniowe
spełnia dla dowolnych skalarów \(\displaystyle{ a,b}\) i wektorów \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in V}\) warunek
(*)\(\displaystyle{ \phi(a \alpha+b \beta)=a\phi(\alpha)+b \phi(\beta)}\). Mamy
\(\displaystyle{ \phi(\alpha)=\phi(\beta)}\), czyli \(\displaystyle{ \phi(\alpha)-\phi(\beta)=\vec{0}}\).
Następnie korzystamy z (*), biorąc \(\displaystyle{ a=1, b=-1}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy istnieje przekształcenie liniowe

Post autor: max123321 »

A no racja . Chociaż tu akurat będzie chyba odwrotnie: \(\displaystyle{ a=-1, b=1}\), ale to drobny szczegół. Ogólnie wiadomo o co chodzi .
ODPOWIEDZ