Niech \(\displaystyle{ V=R_n\left[ x\right]}\) będzie przestrzenią liniową wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ n}\). Znaleźć współrzędne wielomianu \(\displaystyle{ f\left( x\right)=1+x+...+x ^{n}}\) w bazie \(\displaystyle{ 1,x-1,\left( x-1\right) ^{2}, ...,\left( x-1\right) ^{n}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).
Jak to ruszyć?
Znaleźć współrzędne wielomianu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
Mam dość niekonwencjonalny pomysł:
rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=1+x+\dots+x^n}\) ze wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange'a w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\) - aż do \(\displaystyle{ a_n(x-1)^n}\), gdzie
\(\displaystyle{ a_n= \frac{f^{(n)}(1)}{n!}}\) i zauważyć, że reszta musi być tożsamościowo równa zero.
-- 30 lis 2016, o 01:44 --
No i Twoje współrzędne to będą kolejne współczynniki rozwinięcia.
rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=1+x+\dots+x^n}\) ze wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange'a w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\) - aż do \(\displaystyle{ a_n(x-1)^n}\), gdzie
\(\displaystyle{ a_n= \frac{f^{(n)}(1)}{n!}}\) i zauważyć, że reszta musi być tożsamościowo równa zero.
-- 30 lis 2016, o 01:44 --
No i Twoje współrzędne to będą kolejne współczynniki rozwinięcia.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
\(\displaystyle{ 1+x+\dots+x^n=A_0+A_1(x-1)+A_2(x-1)^2+\dots+A_n(x-1)^n}\)
Wstaw \(\displaystyle{ x=1}\) - obliczysz \(\displaystyle{ A_0}\)
Zróżniczkuj obie strony, wstaw \(\displaystyle{ x-1}\) - obliczysz \(\displaystyle{ A_1}\) etc.
Wstaw \(\displaystyle{ x=1}\) - obliczysz \(\displaystyle{ A_0}\)
Zróżniczkuj obie strony, wstaw \(\displaystyle{ x-1}\) - obliczysz \(\displaystyle{ A_1}\) etc.
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
Znaczy chyba za każdym razem trzeba wstawić \(\displaystyle{ x=1}\). I zróżniczkować.
Ale \(\displaystyle{ A_0}\) to jeszcze prosto wychodzi: \(\displaystyle{ A_0=n+1}\). \(\displaystyle{ A_1= \frac{n\left( n+1\right) }{2}}\). A jak \(\displaystyle{ A_3}\) policzyć i dalsze? Robi się to coraz trudniejsze.
Ale \(\displaystyle{ A_0}\) to jeszcze prosto wychodzi: \(\displaystyle{ A_0=n+1}\). \(\displaystyle{ A_1= \frac{n\left( n+1\right) }{2}}\). A jak \(\displaystyle{ A_3}\) policzyć i dalsze? Robi się to coraz trudniejsze.
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
No dobra, ale jak obliczyć \(\displaystyle{ A_3}\)?? To wychodzi \(\displaystyle{ 1+3+6+10+15...}\)?? To jest suma jakiegoś ciągu??
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
Po k-krotnym zróżniczkowaniu stronami równości
\(\displaystyle{ 1+x+\dots+x^n=A_0+A_1(x-1)+A_2(x-1)^2+\dots+A_n(x-1)^n}\)
i podstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{d^k}{dx^k}\left( 1+x+\dots+x^n\right)\bigg|_{x_0=1} =k!A_k}\) - po prawej niższe potęgi \(\displaystyle{ x-1}\) niż k-ta znikają przez zróżniczkowanie, a wyrazy z większymi wykładnikami znikają, bo wstawiasz \(\displaystyle{ x=1}\), a w nich zostało \(\displaystyle{ x-1}\) w dodatniej potędze.
Więc wychodzi na to, że przyda nam się wzór na pochodną rzędu \(\displaystyle{ k}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1+x+\dots+x^n}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\).
To będzie taka suma: \(\displaystyle{ k!+(k+1)!+ \frac{(k+2)!}{2!}+\dots+ \frac{n!}{(n-k)!}}\), czyli inaczej zapisując
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{n} \frac{m!}{(m-k)!}}\). Dzieląc stronami równość
\(\displaystyle{ k!A_k=\sum_{m=k}^{n} \frac{m!}{(m-k)!}}\), mamy
\(\displaystyle{ A_k= \sum_{m=k}^{n}{m \choose k}}\),
bo \(\displaystyle{ {m \choose k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}}\)
Dalej indukcyjnie dowodzimy, że
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{n}{m \choose k}={n+1 \choose k+1}}\) i koniec.
Wskazówka: indukcja po \(\displaystyle{ n \ge k}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\).
Wskazówka druga: \(\displaystyle{ {v \choose p}+{v \choose p+1}={v+1 \choose p+1}}\)
\(\displaystyle{ 1+x+\dots+x^n=A_0+A_1(x-1)+A_2(x-1)^2+\dots+A_n(x-1)^n}\)
i podstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{d^k}{dx^k}\left( 1+x+\dots+x^n\right)\bigg|_{x_0=1} =k!A_k}\) - po prawej niższe potęgi \(\displaystyle{ x-1}\) niż k-ta znikają przez zróżniczkowanie, a wyrazy z większymi wykładnikami znikają, bo wstawiasz \(\displaystyle{ x=1}\), a w nich zostało \(\displaystyle{ x-1}\) w dodatniej potędze.
Więc wychodzi na to, że przyda nam się wzór na pochodną rzędu \(\displaystyle{ k}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1+x+\dots+x^n}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0=1}\).
To będzie taka suma: \(\displaystyle{ k!+(k+1)!+ \frac{(k+2)!}{2!}+\dots+ \frac{n!}{(n-k)!}}\), czyli inaczej zapisując
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{n} \frac{m!}{(m-k)!}}\). Dzieląc stronami równość
\(\displaystyle{ k!A_k=\sum_{m=k}^{n} \frac{m!}{(m-k)!}}\), mamy
\(\displaystyle{ A_k= \sum_{m=k}^{n}{m \choose k}}\),
bo \(\displaystyle{ {m \choose k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}}\)
Dalej indukcyjnie dowodzimy, że
\(\displaystyle{ \sum_{m=k}^{n}{m \choose k}={n+1 \choose k+1}}\) i koniec.
Wskazówka: indukcja po \(\displaystyle{ n \ge k}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\).
Wskazówka druga: \(\displaystyle{ {v \choose p}+{v \choose p+1}={v+1 \choose p+1}}\)
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
No, ale nie mieliśmy jeszcze wzoru na pochodną rzędu \(\displaystyle{ k}\). Oficjalnie nie znamy jeszcze pochodnych(można ich używać w ograniczonym zakresie).
Może da się jakoś jednak obliczyć to \(\displaystyle{ A_3=1+3+6+10+15+...}\)??
Albo jeszcze jakąś inna metoda.
Wskazówka jest podobno \(\displaystyle{ x ^{k}=\left( \left( x+1\right)-1 \right) ^{k}}\).
Może da się jakoś jednak obliczyć to \(\displaystyle{ A_3=1+3+6+10+15+...}\)??
Albo jeszcze jakąś inna metoda.
Wskazówka jest podobno \(\displaystyle{ x ^{k}=\left( \left( x+1\right)-1 \right) ^{k}}\).
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
No, różniczkując po kolei stronami, można "zauważyć", że
\(\displaystyle{ A_k={n+1 \choose k+1}}\) i udowodnić to indukcyjnie. Ale z tą pochodną k-tego rzędu to jest to samo, co zróżniczkowanie \(\displaystyle{ k}\) razy (i za każdym razem masz pochodną pierwszego rzędu ).
A co do tej wskazówki, to powinna inaczej wyglądać - przynajmniej jak dla mnie. A mianowicie:
\(\displaystyle{ x^k=((x-1)+1)^k}\)
Potem można skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona. Np. \(\displaystyle{ x^n=((x-1)+1)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(x-1)^k}\). No to teraz pora na odrobinę rachunku sum.
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n}x^l= \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{l=k}^{n}{l \choose k} \right)(x-1)^k}\)
- zastosowałem zmianę kolejności sumowania, jeśli nawet z tego nie możecie korzystać, to nie umiem pomóc.
Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}={n+1 \choose k+1}}\)
- tę równość można uzasadnić tak, jak pisałem, indukcyjnie.
\(\displaystyle{ A_k={n+1 \choose k+1}}\) i udowodnić to indukcyjnie. Ale z tą pochodną k-tego rzędu to jest to samo, co zróżniczkowanie \(\displaystyle{ k}\) razy (i za każdym razem masz pochodną pierwszego rzędu ).
A co do tej wskazówki, to powinna inaczej wyglądać - przynajmniej jak dla mnie. A mianowicie:
\(\displaystyle{ x^k=((x-1)+1)^k}\)
Potem można skorzystać ze wzoru dwumianowego Newtona. Np. \(\displaystyle{ x^n=((x-1)+1)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(x-1)^k}\). No to teraz pora na odrobinę rachunku sum.
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n}x^l= \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{l=k}^{n}{l \choose k} \right)(x-1)^k}\)
- zastosowałem zmianę kolejności sumowania, jeśli nawet z tego nie możecie korzystać, to nie umiem pomóc.
Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}={n+1 \choose k+1}}\)
- tę równość można uzasadnić tak, jak pisałem, indukcyjnie.
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
No okej kapuję tylko nie rozumiem do końca zmiany tego indeksowania, mianowicie tego przejścia:
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}(x-1)^k=}\)
Możesz to objaśnić?
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k=\\= \sum_{k=0}^{n} \sum_{l=k}^{n}{l \choose k}(x-1)^k=}\)
Możesz to objaśnić?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć współrzędne wielomianu
To jest właśnie zmiana kolejności sumowania.
W tej sumie: \(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k}\)
indeks zewnętrznej sumy \(\displaystyle{ l}\) przebiega liczby naturalne od zera aż do \(\displaystyle{ n}\), natomiast dla ustalonego \(\displaystyle{ l, 0 \le l \le n}\) indeks wewnętrznej sumy, czyli \(\displaystyle{ k}\), zmienia się od zera do \(\displaystyle{ l}\) (oczywiście też po liczbach naturalnych).
Zatem jeżeli zmienimy kolejność tego sumowania, tj. na zewnątrz przeniesiemy indeks \(\displaystyle{ k}\), to mamy, że \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od zera (najmniejsza wartość \(\displaystyle{ k}\) ze wszystkich występujących w którymś ze składników sumy wewnętrznej \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{l} \dots}\)) do \(\displaystyle{ n}\) (największa wartość \(\displaystyle{ k}\) występująca w którymś składniku sumy wewnętrznej, a mianowicie tam, gdzie \(\displaystyle{ l=n}\)). Natomiast ponieważ
w "pierwotnie" wewnętrznej sumie mieliśmy zawsze \(\displaystyle{ k \le l}\), to przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) (nowym indeksie zewnętrznej sumy), to teraz w sumie wewnętrznej l zmienia się od \(\displaystyle{ l=k}\) do \(\displaystyle{ n}\) (największa wartość \(\displaystyle{ l}\), jaka występowała w "pierwotnej" sumie zewnętrznej).
Jeśli to do Ciebie nie przemawia, to weź sobie jakieś nie za duże, ale i nie za małe \(\displaystyle{ n}\), na przykład \(\displaystyle{ n=5}\) i rozpisz to sobie, a najlepiej rozrysuj w takiej trójkątnej "tabelce".
Możesz też zajrzeć tu:
W tej sumie: \(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{n} \sum_{k=0}^{l}{l \choose k}(x-1)^k}\)
indeks zewnętrznej sumy \(\displaystyle{ l}\) przebiega liczby naturalne od zera aż do \(\displaystyle{ n}\), natomiast dla ustalonego \(\displaystyle{ l, 0 \le l \le n}\) indeks wewnętrznej sumy, czyli \(\displaystyle{ k}\), zmienia się od zera do \(\displaystyle{ l}\) (oczywiście też po liczbach naturalnych).
Zatem jeżeli zmienimy kolejność tego sumowania, tj. na zewnątrz przeniesiemy indeks \(\displaystyle{ k}\), to mamy, że \(\displaystyle{ k}\) zmienia się od zera (najmniejsza wartość \(\displaystyle{ k}\) ze wszystkich występujących w którymś ze składników sumy wewnętrznej \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{l} \dots}\)) do \(\displaystyle{ n}\) (największa wartość \(\displaystyle{ k}\) występująca w którymś składniku sumy wewnętrznej, a mianowicie tam, gdzie \(\displaystyle{ l=n}\)). Natomiast ponieważ
w "pierwotnie" wewnętrznej sumie mieliśmy zawsze \(\displaystyle{ k \le l}\), to przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\) (nowym indeksie zewnętrznej sumy), to teraz w sumie wewnętrznej l zmienia się od \(\displaystyle{ l=k}\) do \(\displaystyle{ n}\) (największa wartość \(\displaystyle{ l}\), jaka występowała w "pierwotnej" sumie zewnętrznej).
Jeśli to do Ciebie nie przemawia, to weź sobie jakieś nie za duże, ale i nie za małe \(\displaystyle{ n}\), na przykład \(\displaystyle{ n=5}\) i rozpisz to sobie, a najlepiej rozrysuj w takiej trójkątnej "tabelce".
Możesz też zajrzeć tu: