Jawny wzór na odwzorowanie liniowe.

[pawlo392]

Wypisać jawny wzór na odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) dla którego jądro generowane jest przez wektor \(\displaystyle{ (3,2)}\) a obraz spełnia równanie \(\displaystyle{ 3x+2y=0}\).
Czyli mamy tak :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \ \left[\begin{array}{c}3&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0&0\end{array}\right]}\)
Wymiar obrazu i jądra będzie jeden więc wszystko się zgadza.
Nie wiem czy dobrze myślę, ale wtedy z założeń miałbym :
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a+2c=0 \\ 3b+2d=0 \\ 3a+2b=0 \\ 3c+2d=0 \end{cases}}\)
Jednak wydaje mi się to nie mniej dziwne.
Korzystam z tego jak oblicza się jądro oraz z tego iż liczby \(\displaystyle{ a,c}\) oraz \(\displaystyle{ b,d}\) muszą spełniać to równanie.-- 28 lis 2016, o 23:45 --Ten układ jest bez sensu. Muszę inną metodę znaleźć.

[Premislav]

Ten układ nie jest bez sensu i wychodzi z tego rozwiązanie, a nawet nieskończenie wiele rozwiązań.
Weź dowolne niezerowe \(\displaystyle{ a}\), a pozostałe współczynniki macierzy wylicz z tego układu i będzie OK.

[pawlo392]

Czyli w zależności od \(\displaystyle{ a}\) otrzymałem \(\displaystyle{ a(1, \frac{-3}{2}, \frac{-3}{2}, \frac{9}{4})}\) Ale o jaki wzór chodzi autorowi?

[Premislav]

Zgadza się. A o jaki konkretny wzór chodziło autorowi - tego nie wiem.

Znalazłeś współczynniki macierzy (np. możesz wziąć \(\displaystyle{ a=1}\)), więc jak dla mnie wzór odwzorowania to wynik nałożenia tej macierzy na dowolny wektor \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^2}\), tj.
\(\displaystyle{ f\left( \left[\begin{array}{c}x&y\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}x-\frac 3 2 y&-\frac 3 2 x+\frac 94 y\end{array}\right]}\)

Polecenie zostało tak zapisane, jakby ten wzór miał być unikalny, co nie jest prawdą - ale może to tylko moje wrażenie...

[pawlo392]

Spotkałem się z czymś taki, co w tym zadaniu mogłoby wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^2 \ni \left[\begin{array}{c}3&2\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c}x-\frac 3 2 y&-\frac 3 2 x+\frac 94 y\end{array}\righ] \in \mathbb{R}^2}\)