Sprawdzanie czy zbiór jest przestrzenią liniową

[Hendra]

Witajcie
Mam wykazać, że zbiór wielomianów \(\displaystyle{ K [x]}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia przez elementy z ciała \(\displaystyle{ \KK}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \KK}\). Oczywiście zamierzam to zrobić poprzez sprawdzenie aksjomatów przestrzeni liniowej.
Nie wiem natomiast jak się za to zabrać. Czy po prostu, jako funkcje, poprzez, np.: \(\displaystyle{ (f+g)(x)=(g+f)(x)=f(x)+g(x)}\)? Czy dla wielomianów robi się to inaczej?

[szw1710]

Mniej więcej w ten sposób. Ale jest pewna uciążliwość: w dowolnym ciele nie można utożsamiać wielomianu z funkcją. Np. jeśli \(\displaystyle{ K=\ZZ_2}\), to wielomiany \(\displaystyle{ x^2+x}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+x}\) generują tę samą funkcję - zerową. W ciele o charakterystyce \(\displaystyle{ 0}\) nie ma z tym problemu.

Funkcje generowane przez wielomiany nazywamy funkcjami wielomianowymi. Więc nie zawsze jest tu jednoznaczna odpowiedniość.

Tak więc stosujemy symbolikę "funkcyjną", ale w odniesieniu do działań na wielomianach: tutaj zwyczajnie dodaje się współczynniki przy tych samych potęgach.

[Hendra]

Mniej więcej w ten sposób. Ale jest pewna uciążliwość: w dowolnym ciele nie można utożsamiać wielomianu z funkcją. Np. jeśli \(\displaystyle{ K=\ZZ_2}\), to wielomiany \(\displaystyle{ x^2+x}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+x}\) generują tę samą funkcję - zerową. W ciele o charakterystyce \(\displaystyle{ 0}\) nie ma z tym problemu.

Funkcje generowane przez wielomiany nazywamy funkcjami wielomianowymi. Więc nie zawsze jest tu jednoznaczna odpowiedniość.

Tak więc stosujemy symbolikę "funkcyjną", ale w odniesieniu do działań na wielomianach: tutaj zwyczajnie dodaje się współczynniki przy tych samych potęgach.

Rozumiem. Właśnie miałem podobne wątpliwości, dlatego wolałem zapytać

Tak więc:
1) przemienność dodawania: \(\displaystyle{ (f+g)(x)=(g+f)(x)}\)
2) łączność dodawania: \(\displaystyle{ ((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)}\)
3) istnienie elementu neutralnego: \(\displaystyle{ (f+0)(x)=f(x)}\) tutaj zupełnie nie mam pewności
4) istnienie elementu przeciwnego: \(\displaystyle{ (f+(-f))(x)=0}\) tutaj podobnie nie wiem czy zapis jest dobry
5) \(\displaystyle{ \alpha [f(x)+g(x)]=\alpha f(x)+ \alpha g(x)}\)
6) \(\displaystyle{ (\alpha + \beta)f(x)=\alpha f(x) + \beta f(x)}\)
7) \(\displaystyle{ (\alpha \beta)f(x)=\alpha (\beta f(x))}\)
8) istnienie elementu neutralnego mnożenia: \(\displaystyle{ 1 \cdot f(x)=f(x)}\)

Oczywiście tutaj podałem tylko szkic. Wszędzie powinny być kwantyfikatory, że skalary są z ciała, a wszystkie funkcje ze zbioru \(\displaystyle{ K[x]}\)

Czy takie sprawdzenie jest dobrze przeprowadzone?

[szw1710]

W zasadzie opierasz się na intuicji funkcyjnej. Stąd wątpliwości. To trzeba zweryfikować działając na współczynnikach. A może oprzeć się na innej definicji pierścienia wielomianów. Wielomiany są to ciągi \(\displaystyle{ (a_0,a_1,\dots,a_n,\dots)}\) elementów ciała \(\displaystyle{ K}\) takie, że od pewnego miejsca wszystkie wyrazy są zerowe. Dodajemy je jak zwykłe ciągi. Mnożymy przez skalar tak samo. Tu będzie bardzo łatwe sprawdzenie. Powiedzmy, że powyższy ciąg będziemy utożsamiać z wielomianem \(\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n}\) zakładając, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n+2}=\dots=0}\).

Taką definicję poznałem, gdy sam byłem studentem.

[Hendra]

W zasadzie opierasz się na intuicji funkcyjnej. Stąd wątpliwości. To trzeba zweryfikować działając na współczynnikach. A może oprzeć się na innej definicji pierścienia wielomianów. Wielomiany są to ciągi \(\displaystyle{ (a_0,a_1,\dots,a_n,\dots)}\) elementów ciała \(\displaystyle{ K}\) takie, że od pewnego miejsca wszystkie wyrazy są zerowe. Dodajemy je jak zwykłe ciągi. Mnożymy przez skalar tak samo. Tu będzie bardzo łatwe sprawdzenie. Powiedzmy, że powyższy ciąg będziemy utożsamiać z wielomianem \(\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n}\) zakładając, że \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n+2}=\dots=0}\).

Taką definicję poznałem, gdy sam byłem studentem.

Rozumiem. Faktycznie jest to całkiem fajny sposób i zdecydowanie łatwy w sprawdzeniu.

Niestety ja jeszcze nie miałem tej definicji na wykładach i nie wiem czy będę mógł z niej skorzystać. Czy to, co zrobiłem "funkcyjnie" też ma sens?

[szw1710]

Wszystko trzeba cierpliwie zweryfikować. Za bardzo jestem zmęczony na te rzeczy. Więc weryfikuj tak, że naprawdę dodaje się współczynniki. No więc masz \(\displaystyle{ f+(g+h)}\). Na wyrazie wolnym mamy łączność \(\displaystyle{ a_0+(b_0+c_0)}\). Na wyrazie przy \(\displaystyle{ x}\) podobnie: \(\displaystyle{ a_1+(b_1+c_1)}\) itp. Wcześniej trzeba wielomiany zrównać rzędem czyli wziąć sobie najwyższy stopień, a w pozostałych wielomianach wpisać zera na odpowiednich miejscach.

[Hendra]

Wszystko trzeba cierpliwie zweryfikować. Za bardzo jestem zmęczony na te rzeczy. Więc weryfikuj tak, że naprawdę dodaje się współczynniki. No więc masz \(\displaystyle{ f+(g+h)}\). Na wyrazie wolnym mamy łączność \(\displaystyle{ a_0+(b_0+c_0)}\). Na wyrazie przy \(\displaystyle{ x}\) podobnie: \(\displaystyle{ a_1+(b_1+c_1)}\) itp. Wcześniej trzeba wielomiany zrównać rzędem czyli wziąć sobie najwyższy stopień, a w pozostałych wielomianach wpisać zera na odpowiednich miejscach.

Bardzo mi pomogłeś! Już chyba sobie poradzę z weryfikacją, nie korzystając z poprzedniej definicji