Wymiar jądra i wymiar obrazu.

[pawlo392]

Dla danego przekształcenia liniowego wyznaczyć wymiar \(\displaystyle{ Ker \varphi}\) i wymiar \(\displaystyle{ Im \varphi}\) jeżeli:
\(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \ \varphi ((x,y,z))=(x,y+2z)}\)
Nie robiłem jeszcze zadania takiego typu.
Ale wiem, że \(\displaystyle{ dimV=dim(ker \varphi) + dim(Im \varphi)}\)
U nas \(\displaystyle{ dimV=3}\), więc wystarczy że wyznaczę jedno z nich.
Jądro wiem, że liczyło się w taki sposób, między innymi :
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x&y&z \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0&0&0\end{array}\right]}\)
Jednak po przepuszczeniu przez tę funkcję przykładowych wektorów \(\displaystyle{ v_1=(1,0,1) \ v_2=(0,0,1) \ v_3=(0,1,0)}\) Ale wtedy wychodzą mi trzy wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) więc, nie są liniowo niezależne. Nie wiem czy ta metoda ma w ogóle sens.

[Premislav]

Jednak po przepuszczeniu przez tę funkcję przykładowych wektorów \(\displaystyle{ v_1=(1,0,1) \ v_2=(0,0,1) \ v_3=(0,1,0)}\) Ale wtedy wychodzą mi trzy wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) więc, nie są liniowo niezależne.

Nie rozumiem. Co do zaproponowanej metody, to jak najbardziej ma ona sens, ale nie wiem, co tu się na końcu dzieje, bo piszesz tak, jakbyś chciał wyznaczyć jądro przekształcenia, a działasz chyba nie w tę stronę.
Elementy \(\displaystyle{ Ker \varphi}\) to takie wektory \(\displaystyle{ (x,y,z) \in \RR^3}\), że
\(\displaystyle{ \varphi((x,y,z))=(0,0)}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y+2z=0 \end{cases}}\)
Zatem \(\displaystyle{ Ker \varphi}\) można opisać tak:
\(\displaystyle{ Ker \varphi=\left\{(0,-2z,z):z \in \RR \right\}}\), czyli \(\displaystyle{ Ker \varphi=\Lin \left( (0,-2,1)\right)}\).
Zatem \(\displaystyle{ \dim Ker \varphi=1}\). No i dalej skorzystaj z tego faktu, który przytoczyłeś.

[pawlo392]

Premislav, Dziękuje, oto mi chodziło.