Sprawdzenie czy jest przestrzenią liniową

paleon · Post autor: **paleon** » 27 lis 2016, o 15:09

Witam, mam problem z następującym zadaniem.
Trzeba sprawdzić czy podane zbiory tworzą przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z naturalnymi działaniami dodawania funkcji i mnożenia ich przez skalar.
Przykłady, które mi nie wyszły:
\(\displaystyle{ X = \left\{ f: \RR \rightarrow \RR: f \hbox{ jest funkcją okresową}\right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ X = \left\{ f: \RR \rightarrow \RR: f \hbox{ jest funkcją o okresie wymiernym} \right\}}\)

Zrobiłem tylko pierwszy, gdzie wyszło mi, że jest to przestrzeń, co nie zgodziło się z odpowiedzią.
Najpierw sprawdziłem czy \(\displaystyle{ (X,+)}\) jest grupą abelową, gdzie otrzymałem:
\(\displaystyle{ e}\) - funkcje przyjmującą niezależnie od argumentu wartość \(\displaystyle{ 0}\),
element przeciwny to funkcja \(\displaystyle{ \cdot (-1)}\).
Działanie "\(\displaystyle{ +}\)" jest oczywiście łączne i przemienne, ale nie jestem do końca pewny czy jest wewnętrzne, nie znalazłem zaprzeczenia, więc założyłem, że jest.

Dalej sprawdzałem warunki mnożenia, skalar wpływa na okres, ale do dyspozycji mamy wszystkie funkcje okresowe.

Z góry dziękuję za wszystkie sugestie.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 lis 2016, o 15:16

paleon pisze: ale nie jestem do końca pewny czy jest wewnętrzne, nie znalazłem zaprzeczenia, więc założyłem, że jest.

Słabo szukałeś.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 lis 2016, o 15:20

Jesteś pewny, że suma funkcji okresowych jest okresowa?

JK

paleon · Post autor: **paleon** » 27 lis 2016, o 16:32

Rozpatrzyłem kilka kombinacji funkcji trygonometrycznych w wolfram alpha, stała nic nie zmienia. Nie wziąłem natomiast pod uwagę funkcji Dirichleta, która podniesie wykres np. \(\displaystyle{ \sin (x)}\) w każdej wymiernej współrzędnej o \(\displaystyle{ 1}\). Czy to byłoby zaprzeczenie? Czy jakaś inna funkcja ma okres wymierny? Jeśli nie, to drugi podpunkt też jest rozwiązany. Są jakieś inne funkcje okresowe? Poza trygonometrycznymi, stałymi i dirichleta znalazłem jeszcze funkcje wykładniczą zmiennej zespolonej. Powinienem wziąć pod uwagę każde możliwe przyporządkowanie? Na przykład funkcje przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej, albo wielokrotności jakiejś konkretnej liczby ustaloną stałą?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 lis 2016, o 16:46

paleon pisze:Czy jakaś inna funkcja ma okres wymierny? (...) Są jakieś inne funkcje okresowe?

Wychodzisz z błędnego przekonania, że istnieją tylko takie funkcje okresowe, które znasz albo o których jesteś w stanie znaleźć jakąś informację. A istnieje mnóstwo funkcji okresowych, o których w życiu nie usłyszysz...

Z konkretnych funkcji okresowych możesz korzystać wtedy, jeśli chcesz np. wskazać kontrprzykład (dwie funkcje okresowe, których suma nie jest okresowa). Ale jeżeli chcesz udowodnić jakieś twierdzenie ogólne, to nie możesz go dowodzić poprzez sprawdzenie, że jest prawdziwe dla wszystkich znanych Ci funkcji okresowych. Musisz wykonać ogólne rozumowanie, odwołujące się wyłącznie do definicji tych funkcji.

JK

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 lis 2016, o 16:56

NO dobra, żeby skanalizować dyskusję: znajdz okres funkcji \(\displaystyle{ \sin x+\sin \pi x}\) (o ile istnieje)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 lis 2016, o 17:02

paleon pisze:Rozpatrzyłem kilka kombinacji funkcji trygonometrycznych w wolfram alpha, stała nic nie zmienia.

Jeszcze uwaga przed skanalizowaniem: powyższe też nie jest żadnym argumentem za czymkolwiek.

JK

paleon · Post autor: **paleon** » 27 lis 2016, o 17:07

Rozpatrzyłem już \(\displaystyle{ \sin \left( \sqrt{2}x \right) + \sin \left( 2x \right)}\), dziękuję za pomoc. Jeśli chodzi o drugi podpunkt w którym mam funkcje o okresie wymiernym, to co powinno się znaleźć w dowodzie? Mogę tylko pokazać że istnieje\(\displaystyle{ NWW}\) współczynników? jeśli chodzi o wolfram to mam tego pełną świadomość, chciałem tylko utwierdzić swoją, jak się okazało błędną, hipotezę.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 lis 2016, o 17:15

Powinieneś spróbować dowieść, że suma dwóch dowolnych funkcji o okresach wymiernych jest funkcją o okresie wymiernym oraz ze przymnożenie funkcji o okresie wymiernym przez skalar daje funkcje o okresie wymiernym.

JK

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 lis 2016, o 17:30

paleon pisze:Rozpatrzyłem już \(\displaystyle{ \sin \left( \sqrt{2}x \right) + \sin \left( 2x \right)}\), dziękuję za pomoc.

Rozkręciłeś temat, to powiedz co Ci wyszło z tego rozpatrywania. Inaczej mówiąc: pokaż dowód, że rozpatrywana przez Ciebie funkcja nie jest okresowa.

paleon · Post autor: **paleon** » 27 lis 2016, o 18:04

Założyłem, że okresy muszą się "pokryć"
\(\displaystyle{ k \cdot t _{1} =m \cdot t _{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ k,m\in \mathbb{Z}}\), a \(\displaystyle{ t _{1}, t _{2}}\) to okresy dowolnych funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g}\).
Wyłączyłem \(\displaystyle{ "0"}\), podzieliłem przez pierwszy okres oraz \(\displaystyle{ m}\) i dostałem:
\(\displaystyle{ \frac{k}{m} = \frac{ t_{2} }{ t_{1} }}\)
co w pierwszym podpunkcie dowodzi, że nie jest to działanie wewnętrzne, a w drugim pokazuje, że jest. Może tak być?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 lis 2016, o 18:06

A skąd to założenie? Musisz je jakoś uzasadnić. A poza tym wcale nie musi być prawdziwe

paleon · Post autor: **paleon** » 27 lis 2016, o 18:17

Założyłem, że istnieją takie argumenty w których funkcje jednocześnie rozpoczynają kolejny okres (odpowiedni dla siebie). Odległość między tymi punktami, byłaby okresem sumy tych funkcji. Takie założenie jest błędne? W międzyczasie edytowałem też post, LaTeX jest jednak złem koniecznym

a4karo · Post autor: **a4karo** » 27 lis 2016, o 19:15

Tak, to założenie jest błędne.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 27 lis 2016, o 19:19

paleon pisze:LaTeX jest jednak złem koniecznym

Nie głoś herezji...

JK