Sprawdzenie czy jest przestrzenią liniową

[paleon]

Mam nowy pomysł.

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = f\left( \alpha x\right) + g\left( \beta x\right)}\)
\(\displaystyle{ t _{1},t _{2}}\) - okresy podstawowe odpowiednio funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)
\(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ T}\) - okres funkcji \(\displaystyle{ h}\)

dla funkcji \(\displaystyle{ f}\)
\(\displaystyle{ \alpha \left( x + T \right) = \alpha x + t _{1}}\)
po przekształceniach:

\(\displaystyle{ T = \frac{t _{1} }{ \alpha }}\)

i podobnie dla funkcji \(\displaystyle{ g}\)

\(\displaystyle{ T = \frac{t _{2} }{ \beta }}\)

stąd wynika

\(\displaystyle{ \frac{t _{1} }{ \alpha }=\frac{t _{2} }{ \beta }}\)

i dalej

\(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{ \beta } = \frac{ t_{1} }{t _{2} }}\)

Teraz mógłbym założyć, że okresy są całkowite i udowodnić, podobnie jak w dowodzie na niewymierność danej liczby.
Teraz jest dobrze? Wydaje mi się, że jest ok dla pierwszego podpunktu, ale drugiego brakuje bardziej ogólnego podejścia.

[Premislav]

W pierwszym ja proponuję taki prosty przykład:
\(\displaystyle{ \cos x}\) jest funkcją okresową, \(\displaystyle{ \cos \pi x}\) jest także funkcją okresową, natomiast
\(\displaystyle{ f(x)=\cos x+\cos(\pi x)}\) - już nie.
Dla dowodu nie wprost załóżmy, że dla pewnej liczby wymiernej \(\displaystyle{ w>0}\) i wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+w)=f(x)}\). \(\displaystyle{ w}\) jest wymierne, więc istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k>0}\), że
\(\displaystyle{ k\cdot w}\) jest liczbą naturalną parzystą. Wówczas w szczególności
\(\displaystyle{ f(0+k\cdot w)=f(k\cdot w)=f(0)}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ f(0)=2}\), tymczasem \(\displaystyle{ f(k\cdot w)=\cos(k\cdot w)+\cos(k\cdot w \pi)=1+\cos(k\cdot w)}\). Liczba \(\displaystyle{ k\cdot w}\) jest liczbą wymierną różną od zera, więc \(\displaystyle{ \cos(k\cdot w)<1}\). Sprzeczność.
Teraz z kolei załóżmy nie wprost, że dla pewnej liczby \(\displaystyle{ r \in \RR \setminus \QQ, r>0}\)
i wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f(x+r)=f(x)}\).
W szczególności \(\displaystyle{ 2=f(0)=f(r)}\), czyli z jednej strony \(\displaystyle{ r=2k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k>0}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ \pi r=2l\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l>0}\). Czyli liczba
\(\displaystyle{ \frac r \pi}\) jest z jednej strony wymierna, a z drugiej strony niewymierna. Sprzeczność.

To kończy argument.-- 28 lis 2016, o 00:00 --Natomiast Twojego wywodu niestety nie rozumiem, więc chyba nie pomogę w tej kwestii.

[paleon]

Z tego wyszedłem:
\(\displaystyle{ f \left( \alpha x\right) = f \left( \alpha \left( x + t _{1} \right) \right)}\)
tylko tutaj zakładam chyba, że T będzie też okresem funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Z drugiej strony T nie musi być okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ h}\), tylko jego całkowitą wielokrotnością. Szczerze sam się trochę w tym pogubiłem. Przeanalizuje Twój dowód i zgłoszę się z ewentualnymi pytaniami.