Sprawdź liniową zależność funkcji

[seba174]

Nie mam pojęcia jak rozwiązywać zadanie tego typu:
Sprawdzić czy funkcje \(\displaystyle{ \frac{1}{x}, \frac{1}{x-1},..., \frac{1}{x-n}}\) są liniowo niezależne w przestrzeni \(\displaystyle{ Q(x)}\) wszystkich funkcji wymiernych nad ciałem \(\displaystyle{ Q}\).

[NogaWeza]

Z definicji sprawdź, czy \(\displaystyle{ \alpha_0 \frac{1}{x} + \alpha_1 \frac{1}{x-1} + ... + \alpha_n \frac{1}{x-n} = 0 \Rightarrow \alpha_0 , \alpha_1 , ... , \alpha_n = 0}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha_0 , ... , \alpha_n \in \mathbb{Q}}\)

[seba174]

Nie wiem czy to dobrze rozumiem.
Jeśli wezmę \(\displaystyle{ x=2n; \alpha_0 = 2; \alpha_1 , ... , \alpha_{n-1} =0; \alpha_n = -1}\) to równanie:
\(\displaystyle{ \alpha_0 \frac{1}{x} + \alpha_1 \frac{1}{x-1} + ... + \alpha_n \frac{1}{x-n} = 0}\)
będzie spełnione nie tylko dla wszystkich współczynników \(\displaystyle{ \alpha_i = 0}\), czyli funkcje są zależne.

Tylko czy to przypadkiem nie ma działać dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)? Bo wybranie 1 konkretnego raczej nie udowadnia czegokolwiek...

[NogaWeza]

Owszem, ma działać dla każdego; ja Ci nie kazałem wybierać dowolnego. Popatrz na postać tej implikacji.

[seba174]

Kompletnie nie mam pojęcia od czego mam zacząć w takim zadaniu.

[Premislav]

Skoro równość
\(\displaystyle{ \alpha_0 \frac{1}{x} + \alpha_1 \frac{1}{x-1} + ... + \alpha_n \frac{1}{x-n} = 0}\)
ma zachodzić dla każdego \(\displaystyle{ x}\), to podstaw sobie w szczególności
np. \(\displaystyle{ x=n+1, x=n+2, \dots x=2n, x=2n+1}\). Otrzymasz układ jednorodny \(\displaystyle{ n+1}\) równań liniowych z \(\displaystyle{ n+1}\) niewiadomymi o niezerowym wyznaczniku głównym. Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu będzie
\(\displaystyle{ \alpha_0=\alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\)

Zresztą pewnie da się prościej. Można np. udowodnić tę niezależność liniową indukcyjnie po \(\displaystyle{ n}\).

[seba174]

Przede wszystkim nie rozumiem dlaczego wybieramy kilka dowolnych \(\displaystyle{ x}\) i skoro dla nich zachodzi, to dla innych też?
Niestety nie miałem do tej pory wyznaczników, dlatego nie rozumiem tego rozwiązania.

[a4karo]

Ja mam taki pomysł: przypuśćmy, że dla pewnych \(\displaystyle{ a_0,\dots,a_n}\) zachodzi tożsamościowo
\(\displaystyle{ \frac{a_0}{x}+\frac{a_1}{x-1}+\dots+\frac{a_n}{x-n}=0}\)

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ W(x)=x^{a_0}(x-1)^{a_1}\dots(x-n)^{a_n}}\) i popatrz czym jest \(\displaystyle{ \frac{W'(x)}{W(x)}}\)

Edit: poprawiłem literówkę

[Premislav]

Wow! Jaki kapitalny pomysł...

seba174, skoro nie znasz wyznaczników, to przedstawię rozwiązanie indukcyjne - znacznie mniej eleganckie niż powyżej zasugerowana sztuczka, ale standardowe.

\(\displaystyle{ \textbf{1}^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy pokazać liniową niezależność
funkcji \(\displaystyle{ \frac 1 x}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}}\). Jeżeli dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \RR\setminus\left\{ 0,1\right\}}\) jest \(\displaystyle{ \alpha_0 \frac 1 x+\alpha_{1}\frac{1}{x-1}=0}\),
to po wymnożeniu stronami dostajemy
\(\displaystyle{ (\alpha_0+\alpha_1)x-\alpha_0=0}\)
Jest to wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli jest on więc tożsamościowo równy \(\displaystyle{ 0}\), to
jest wielomianem zerowym, czyli \(\displaystyle{ -\alpha_0=0 \wedge \alpha_0+\alpha_1=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \alpha_0=\alpha_1=0}\).

\(\displaystyle{ \textbf{2}^{\circ}}\) Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) funkcje
\(\displaystyle{ \frac{1}{x},\dots \frac{1}{x-n}}\) są liniowo niezależne w \(\displaystyle{ \QQ(x)}\) nad \(\displaystyle{ \QQ}\)
Powiedzmy, że dla pewnych \(\displaystyle{ \alpha_0,\dots \alpha_{n+1} \in \QQ}\) jest
\(\displaystyle{ \alpha_0 \frac 1 x+\dots+\alpha_{n+1}\frac{1}{x-(n+1)}\equiv 0}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ x \neq 0, ... x \neq n+1}\). Wymnażając przez mianowniki dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n+1} \alpha_i \prod_{j=0; j \neq i}^{n+1}(x-i)\equiv 0}\)
Oczywiście jest to spełnione, gdy \(\displaystyle{ \alpha_0=\alpha_1=\dots=\alpha_{n+1}=0}\)
Teraz załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha_{n+1}=0}\), wówczas powyższe redukuje się do:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \alpha_i \prod_{j=0; j \neq i}^{n}(x-j)\equiv 0}\)
ale to jest równoważne (w "naszej" dziedzinie) stwierdzeniu, że
\(\displaystyle{ \alpha_0\frac 1 x+\dots+\alpha_n \frac{1}{x-n}\equiv 0}\).
Zatem na mocy założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ \alpha_0=\alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\).
To teraz przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \alpha_{n+1}\neq 0}\). Mamy równość wielomianów:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \alpha_i \prod_{j=0; j \neq i}^{n+1}(x-j)\equiv -\alpha_{n+1} \prod_{j=0}^{n}(x-j)}\)
dla \(\displaystyle{ x\neq 0, ... x \neq n+1}\), więc dla tych argumentów także (bo wielomian jest jednoznacznie określony przez swoje współczynniki, a tu współczynniki obu stron muszą być takie same, z uwagi na równość wielomianów dla nieskończenie wielu argumentów). Kładąc kolejno \(\displaystyle{ x=0, \dots x=n}\), dostajemy
\(\displaystyle{ \alpha_0 \prod_{j=1}^{n+1}(-j) =0\\\dots \\\alpha_{n} \prod_{j=1; j\neq n}^{n+1}(n-j)=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \alpha_0=\alpha_1=\dots=\alpha_n=0}\). Zatem wielomian zerowy (lewa strona) ma być równy wielomianowi, który z pewnością nie jest tożsamościowo równy \(\displaystyle{ 0}\)
(\(\displaystyle{ -\alpha_{n+1} \prod_{j=0}^{n}(x-j)}\); w tej części zakładamy bowiem \(\displaystyle{ \alpha_{n+1}\ne 0}\)). To jest sprzeczność, a zatem musi być
\(\displaystyle{ \alpha_{n+1}=0}\). Co kończy dowód.

[a4karo]

A jak już się człowiek wyśpi, to od razu widzi, że gdy \(\displaystyle{ a_k\neq 0}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{x\to k} \frac{a_0}{x}+\frac{a_1}{x-1}+\dots+\frac{a_n}{x-n}=\pm\infty}\)