Macierz do n

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
stefan13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 11 cze 2014, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 41 razy

Macierz do n

Post autor: stefan13 »

moze mi ktos wyjasnic wynik tej macierzy podniesionej do \(\displaystyle{ n}\)?
Jak mnoze macierz przez macierz (np do potegi 2) to \(\displaystyle{ x _{11}}\) ma postac \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha&-\sin ^{2} \alpha&}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos \alpha&-\sin \alpha\\ \sin \alpha&\cos \alpha\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha&\cos n\alpha\end{array}\right]}\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2016, o 17:10 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Macierz do n

Post autor: Premislav »

No i w tym nie ma żadnej sprzeczności, bo
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha}\)

-- 25 lis 2016, o 17:18 --

A ten wzorek można łatwo udowodnić indukcyjnie:
dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda, bo po lewej i po prawej mamy po prostu
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]}\)

Teraz drugi krok indukcyjny: załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha& \cos n\alpha\end{array}\right]}\)
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n+1}=\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]^{n}\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]=\\=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha&-\sin n\alpha\\ \sin n\alpha& \cos n\alpha\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right]=\\=\left[\begin{array}{cc}\cos n\alpha\cos \alpha-\sin n\alpha\sin \alpha&-\sin\alpha \cos n \alpha-\sin n\alpha\cos \alpha\\ \sin n\alpha \cos \alpha+\cos n\alpha \sin \alpha&-\sin n\alpha \sin \alpha+\cos n\alpha \cos \alpha\end{array}\right]}\)
Następnie korzystasz w lewym górnym rogu ze wzoru na cosinus sumy, w prawym górnym rogu ze wzoru na sinus sumy, w lewym dolnym rogu ze wzoru na sinus sumy i w prawym dolnym rogu ze wzoru na cosinus sumy i masz tezę.
ODPOWIEDZ