Rozkład na ułamki

[osidu2]

Hej,
Mam pytanie dotyczące rozkładu ułamków. Czy jeżeli nasz ułamek ma postać \(\displaystyle{ \frac{x^2-4}{x^4+x^2}}\) jedyny możliwy rozkład to \(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{x^2}}\) + \(\displaystyle{ \frac{Cx+D}{x^2+1}}\)? Czy można mianownik rozpisać w ten sposób z użyciem liczb zespolonych \(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{x+i}}\)?

[Premislav]

Jak najbardziej można rozłożyć na ułamki proste zespolone, aczkolwiek jeśli na kolokwium z Analizy 1 wymagają od Ciebie wykonania "rozkładu na ułamki proste", to zapewne chodzi o rzeczywiste.

[osidu2]

Właściwie to miałem to na kolokwium z algebry liniowej dosłownie kilka godzin temu. Zastanawiałem się nad tym przykładem, gdyż na ćwiczeniach kazano nam rozkładać \(\displaystyle{ \frac{x}{x^4+1}}\) na liczby zespolone co rozumiem, natomiast ułamek w postaci \(\displaystyle{ \frac{x}{x^2+1}}\) już pomijaliśmy i zostawialiśmy mianownik tak jak jest. Wydawało mi się to niekonsekwentne, dlatego rozłożyłem na liczby zespolone.

[Premislav]

Ależ każdy wielomian czwartego (i wyższego też) stopnia można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej dwa, więc to trochę inna sprawa. Z braku pierwiastków w \(\displaystyle{ \RR}\) nie wynika nierozkładalność w \(\displaystyle{ \RR}\).
Tutaj np. tak rozkładasz mianownik: po chwili kontemplacji wspomaganej dobrym ziołem lub grzybkami halucynogennymi dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-\left(\sqrt{2}x\right)^2=\dots}\)

[osidu2]

Czyli rozumiem, że to co napisałem " \(\displaystyle{ \frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-i}+\frac{D}{x+i}}\) " jest prawdą i mogę liczyć na choć jeden punkt haha ?

[Premislav]

Jest to prawdą, ale czy dostaniesz punkty, to już zależy od prowadzącego (nie powinno, ale takie są realia). Rozumiem, że współczynników \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) nie obliczałeś?

[osidu2]

Nie, nie obliczałem