Suma prosta podprzestrzeni.

[pawlo392]

Niech \(\displaystyle{ U_1 \ U_2}\) będą podprzestrzeniami \(\displaystyle{ w F^3}\) określonymi wzorami:
\(\displaystyle{ U_1=\left\{ (x,y,z) \in F^3 : x+y+z=0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ U_2=\left\{ (x,y,z) \in F^3 : x=y \ y=-z\right\}}\)
Dla pierwszego z wczorajszą pomocą Kacperdev znalazłem dwa wektory które spełniają to równanie :
\(\displaystyle{ v_1=(1,0,-1) \ v_2=(1,-1,0)}\)
Teraz co do \(\displaystyle{ U_2}\) poszukuję wektora (jednego czy dwóch ? Bo jeśli jednego to będę miał wtedy trzy wektory w \(\displaystyle{ F^3}\)) Ale mam przecież dwa równania \(\displaystyle{ x-y=0 \ y+z=0}\). Wycinają mi one \(\displaystyle{ F^1}\) Czyli chyba potrzebuje jednego, niezależnego z wektorami z \(\displaystyle{ U_1}\) wektora aby przecięcie było \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). Mam racje?

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ U_2}\) nie pasowałby tam wektor \(\displaystyle{ v=(1,1,-1)}\)?

[yorgin]

Do \(\displaystyle{ U_2}\) poszukujesz tylu wektorów, ile jest ich w bazie. To wynika z opisu, nie ze zgadywania.

Masz rację, że wycinają one \(\displaystyle{ F^1}\).

Wektor \(\displaystyle{ v}\) pasuje. Widać również, że jest liniowo niezależny z pozostałymi, bo nie spełnia on układu opisującego \(\displaystyle{ U_1}\).