Wyznaczanie bazy

Hendra · Post autor: **Hendra** » 24 lis 2016, o 15:01

Witajcie!
Bardzo prosiłbym o pomoc w wyznaczeniu jakieś bazy \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) nad \(\displaystyle{ R}\):
\(\displaystyle{ W={(t,t+s,0,s): s,t \in \RR}\)
Na początku zbadałem liniową niezależność:
\(\displaystyle{ t(1,1,0,0)+s(0,1,0,1)=0}\)
Oczywiście zbiór jest liniowo niezależny.
Następnie wziąłem się za rozpinanie:
\(\displaystyle{ (t,t+s,0,1)=(a,b,c,d)}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są parametrami.
Niestety tutaj mam problem, bo wychodzi mi (pewnie błędnie), że ten zbiór rozpina jedynie \(\displaystyle{ \RR^{2}}\). Nie wiem też jak wyznaczyć bazę. Czy może być ona zupełnie dowolna jeśli w poleceniu mam "jakąś"?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 24 lis 2016, o 15:22

Dokładniej to
\(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) o wymiarze \(\displaystyle{ 2}\). Więc nie bardzo rozumiem polecenie. Oczywiście, że za pomocą wektorków z \(\displaystyle{ W}\) nie zapiszesz dowolnego wektora z \(\displaystyle{ \RR^4}\). Więc ja widzę takie możliwości sensownego zadania (choć bardzo łatwego):
1) uzupełnić bazę \(\displaystyle{ W}\) do pewnej bazy \(\displaystyle{ \RR^4}\)
lub
2) znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\).

Hendra · Post autor: **Hendra** » 24 lis 2016, o 15:29

Premislav pisze:Dokładniej to
\(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) o wymiarze \(\displaystyle{ 2}\). Więc nie bardzo rozumiem polecenie. Oczywiście, że za pomocą wektorków z \(\displaystyle{ W}\) nie zapiszesz dowolnego wektora z \(\displaystyle{ \RR^4}\). Więc ja widzę takie możliwości sensownego zadania (choć bardzo łatwego):
1) uzupełnić bazę \(\displaystyle{ W}\) do pewnej bazy \(\displaystyle{ \RR^4}\)
lub
2) znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\).

W takim razie autorowi chyba chodziło o "znalezienie jakiejś bazy podprzestrzeni W".
Więc po udowodnieniu, że \(\displaystyle{ (t,t+s,0,s)}\) rozpina \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) szukam jakiejkolwiek bazy? Na przykład: {(1,1,0,0), (0,0,0,0)}?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 24 lis 2016, o 15:34

Powtórzę:\(\displaystyle{ (t,t+s,0,s)}\) nie rozpina \(\displaystyle{ \RR^2}\), bo to w ogóle inny świat (choć o podobnych własnościach). Poza tym raczej mówi się, że układ wektorów rozpina przestrzeń, a nie że (pod)przestrzeń rozpina przestrzeń.
Elementami podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\) są czwórki uporządkowane liczb rzeczywistych, zaś elementami \(\displaystyle{ \RR^2}\)- pary uporządkowane liczb rzeczywistych...
A w bazie nie może być wektora zerowego, chyba się pomyliłeś.

Hendra · Post autor: **Hendra** » 24 lis 2016, o 15:39

Premislav pisze:Powtórzę:\(\displaystyle{ (t,t+s,0,s)}\) nie rozpina \(\displaystyle{ \RR^2}\), bo to w ogóle inny świat (choć o podobnych własnościach). Poza tym raczej mówi się, że układ wektorów rozpina przestrzeń, a nie że (pod)przestrzeń rozpina przestrzeń.
Elementami podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\) są czwórki uporządkowane liczb rzeczywistych, zaś elementami \(\displaystyle{ \RR^2}\)- pary uporządkowane liczb rzeczywistych...

Rozumiem.
Czyli, w takim razie, co może być "jakąś" bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ W={(t,t+s,0,s)}?

[quote="Premislav"]A w bazie nie może być wektora zerowego, chyba się pomyliłeś.[/quote]
O tym przeczytałem dopiero przed chwilką więc tak, oczywiście się tu pomyliłem}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 24 lis 2016, o 15:44

\(\displaystyle{ t(1,1,0,0)+s(0,1,0,1)}\)

Właściwie tutaj już "wyłuskałeś" bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Natomiast nie wiem, co by miało znaczyć to, że przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) jest liniowo niezależna. (???)

Hendra · Post autor: **Hendra** » 24 lis 2016, o 15:53

Premislav pisze:
\(\displaystyle{ t(1,1,0,0)+s(0,1,0,1)}\)
Właściwie tutaj już "wyłuskałeś" bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\). Natomiast nie wiem, co by miało znaczyć to, że przestrzeń \(\displaystyle{ W}\) jest liniowo niezależna. (???)

Hmm.. bardzo dziękuję. Chyba jestem jeszcze na etapie mocnego mylenia pojęć.
Chodziło mi, że zbiór wektorów \(\displaystyle{ {(t,t+s,0,s)}}\) jest liniowo niezależny.

Ale nie rozumiem jednego.. No bo mamy "wyłuskaną" bazę, sprawdzoną niezależność, ale jak to jest z rozpinaniem? Czy nie musimy tego już w żaden sposób sprawdzać, bo to jest oczywiste czy jednak lepiej jest dopisać linijkę obliczeń?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 24 lis 2016, o 15:57

Chodziło mi, że zbiór wektorów \(\displaystyle{ {(t,t+s,0,s)}}\) jest liniowo niezależny.

Ale to nie jest prawda, np.
\(\displaystyle{ \left( 1, 1,0,0\right)+(-1,-1,0,0)=(0,0,0,0)}\)

Może chodziło Ci jednak o liniową niezależność wektorów, które są naturalnymi kandydatami na bazowe, tj.
\(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\)?-- 24 lis 2016, o 16:00 --

ale jak to jest z rozpinaniem?

Jak dla mnie to właśnie fakt, że wektory \(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\) rozpinają \(\displaystyle{ W}\) jest tym oczywistym, który widać już stąd, że \(\displaystyle{ t(1,1,0,0)+s(0,1,0,1)=(t,t+s,0,s)}\),
a to liniowa niezależność, choć bardzo łatwa tutaj, jest akurat tym, co przydałoby się pokazać krótkim rachunkiem.

Hendra · Post autor: **Hendra** » 24 lis 2016, o 16:03

Premislav pisze:Może chodziło Ci jednak o liniową niezależność wektorów, które są naturalnymi kandydatami na bazowe, tj.
\(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\)?

Tak, oczywiście chodziło mi o liniową niezależność tych wektorków.

Premislav pisze: -- 24 lis 2016, o 16:00 --

ale jak to jest z rozpinaniem?
Jak dla mnie to właśnie fakt, że wektory \(\displaystyle{ (1,1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1,0,1)}\) rozpinają \(\displaystyle{ W}\) jest tym oczywistym, który widać już stąd, że \(\displaystyle{ t(1,1,0,0)+s(0,1,0,1)=(t,t+s,0,s)}\),
a to liniowa niezależność, choć bardzo łatwa tutaj, jest akurat tym, co przydałoby się pokazać krótkim rachunkiem.

Bardzo dziękuję!