Podać bazę podprzestrzeni

[max123321]

Podać bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{K} ^{2n}}\) opisanej \(\displaystyle{ n+1}\) równaniami:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1+x_2+...+x_n=0\\x_2+x_3+...+x_{n+1}=0\\...\\x_{n+1}+x_{n+1}+...+x_{2n}=0\end{cases}}\)

Przeliczyłem to i baza wychodzi mi jako zbiór \(\displaystyle{ n-1}\) wektorów takiej postaci:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( -1,1,0,0,0,0,...,0,-1\right),}\)
\(\displaystyle{ \left( -1,0,1,0,0,0,...,0,-1\right),}\)
\(\displaystyle{ \left(-1,0,0,1,0,0,...,0,-1\right),}\)
\(\displaystyle{ \left( -1,0,0,0,1,0,...,0,-1\right),}\)
\(\displaystyle{ ,...,}\)
\(\displaystyle{ \left( -1,0,0,0,0,0,...,0,1,-1\right) \right\}}\).
Dobrze?

[mmaciejewski]

Skoro już rozwiązałe(a)ś równanie, wystarczy sprawdzić, czy dobrze. Rozumiem, że z tym jest problem. Wyjaśniam, jak to zrobić.
Równania w tym układzie są niewątpliwie liniowo niezależne, więc wyznaczają podprzestrzeń wymiaru \(\displaystyle{ 2n-(n+1)=n-1}\). Należy więc znaleźć \(\displaystyle{ n-1}\) wektorów liniowo niezależnych, które należą do tej podprzestrzeni, a więc spełniają równanie. Należy więc sprawdzić dwie rzeczy:

• czy te znalezione wektory są liniowo niezależne;
• czy spełniają ten układ.

Pobieżna analiza skłania mnie do następujących wniosków:

• Po pierwsze mam wrażenie, że tych wektorów jest \(\displaystyle{ 2n-2}\).
• Po drugie są one liniowo niezależne.
• Po trzecie, nie spełniają one tego układu.

-- 26 lis 2016, o 19:57 --Przyjrzałem się temu układowi i podpowiadam:
Jeśli odejmie się równanie \(\displaystyle{ i+1}\) od równania \(\displaystyle{ i}\), to dostanie się, że \(\displaystyle{ x_i=x_{n+i}}\) dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq n}\). Te równania wraz z na przykład pierwszym tworzą łatwiejszy układ równań równoważnych.