Wymiar przestrzeni.

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 23 lis 2016, o 20:25

Czy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) równanie postaci \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) może nam dać płaszczyznę? Po rozpisaniu sobie trzech wektorów postaci \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) otrzymuje rząd równy 1. Czyli mogę chyba jedynie otrzymać prostą.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 23 lis 2016, o 20:50

mamy podprzestrzeń:

\(\displaystyle{ V \subset \RR^3}\)

\(\displaystyle{ V=\left\{ (x,y,z): x+y+z=0\right\}}\)

zatem \(\displaystyle{ v\in V \Leftrightarrow v=\left( x,y,-x-y\right)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)}\)

one są oczywiście liniowo niezależne zatem stanowią bazę \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ \dim V =2}\)

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 23 lis 2016, o 21:17

Zawsze myślałem, że jedno równanie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) może nam jedynie opisać prostą.
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\) opisaną układem równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 -x_3 + x_4 +x_5=0 \\ 2x_1 + 4x_2 -2x_3 +2x_4 +ax_5=0 \end{cases}}\)
Wyznaczyć wymiar w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\).
Czy ja dobrze rozumiem, że będziemy mieć 5 wektorów \(\displaystyle{ v_1=(1,2,0,0,0,) \ v_2=(2,4,0,0,0) \ v_3=(-1,-2,0,0,0) \ v_3=(1,2,0,0,0) \ v_5=(1,a,0,0,0)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a}\) będzie \(\displaystyle{ 2}\) o wtedy rząd będzie \(\displaystyle{ 1}\) czyli wymiar \(\displaystyle{ 1}\) a jeśli \(\displaystyle{ a \neq 2}\) to wtedy wymiar będzie \(\displaystyle{ 2}\).

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 23 lis 2016, o 21:28

wymiar to nie to samo co rząd.
z tw. kroneckera-cappellego dla \(\displaystyle{ a \neq 2}\) uklad bedzie zalezec od \(\displaystyle{ 5-2=3}\) parametrów. więc wymiar będzie \(\displaystyle{ 3}\).

dla \(\displaystyle{ a=2}\) układ będzie zależeć od \(\displaystyle{ 4}\) parametrów, więc wymiar będzie \(\displaystyle{ 4}\).

pawlo392 · Post autor: **pawlo392** » 23 lis 2016, o 21:32

Rozumiem. Dla \(\displaystyle{ a=0}\) mam znaleźć bazę \(\displaystyle{ V_0}\) zawierającą wektor \(\displaystyle{ v_0=(1,1,1,-2}\). Czy ja dobrze rozumiem, że jakiś wektor które wypisałem wcześniej zastąpić tym?-- 23 lis 2016, o 21:42 --

Kacperdev pisze:wymiar to nie to samo co rząd.
z tw. kroneckera-cappellego dla \(\displaystyle{ a \neq 2}\) uklad bedzie zalezec od \(\displaystyle{ 5-2=3}\) parametrów. więc wymiar będzie \(\displaystyle{ 3}\).

dla \(\displaystyle{ a=2}\) układ będzie zależeć od \(\displaystyle{ 4}\) parametrów, więc wymiar będzie \(\displaystyle{ 4}\).

Widziałem, taki przykład że ktoś wektory dał w macierz obliczył rząd i taki jaki jest rząd taki wymiar. Ale widocznie coś źle zrozumiałem. Czyli rząd wskazuje nam liniową niezależność.