Eliminacja gaussa oraz badanie elementu

[revane]

Witam mam taka treść zadania : rozwiąż układ równań metoda eliminacji Gaussa i znajdź jedno rozwiązanie szczególne :
1.

\(\displaystyle{ 5{x}_{1}+3{x}_{2}+5{x}_{3}+12{x}_{4}=10}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+2{x}_{2}+3{x}_{3}+5{x}_{4}=4}\)
\(\displaystyle{ {x}_{1}+7{x}_{2}+9{x}_{3}+4{x}_{4}=2}\)

2.

\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+5{x}_{2}-8{x}_{3}=8}\)
\(\displaystyle{ 4{x}_{1}+3{x}_{2}-9{x}_{3}=9}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+3{x}_{2}-5{x}_{3}=7}\)
\(\displaystyle{ {x}_{}+8{x}_{2}-7{x}_{3}=12}\)

+ jeszcze jedno zadanko brzmi tak zbadaj układ i znajdź rozwiązanie ogólne w zależności od parametru λ

1.

\(\displaystyle{ -6{x}_{1}+8{x}_{2}-5{x}_{3}-{x}_{4}=9}\)
\(\displaystyle{ -2{x}_{1}+4{x}_{2}+7{x}_{3}+3{x}_{4}=1}\)
\(\displaystyle{ -3{x}_{1}+5{x}_{2}+4{x}_{3}+2{x}_{4}=3}\)
\(\displaystyle{ -3{x}_{1}+7{x}_{2}+17{x}_{3}+{x}_{4}7=}\)λ

Z góry dziękuje za pomoc

[miodzio1988]

gdzie sie gubisz?

[revane]

Szczerze powiedziawszy to na zrozumieniu jak się to robi nie do konca rozumiem dlaczego w 1 przykladzie np jest 4x3 i co mam zrobic gdy juz doprowadze do momentu gdy na dole mam 2 zera i 2 cyfry

w 2 wlasciwie dopiero teraz zaobserowwalem ze tam jest x wiec nie bede mial problemu mysle a w 3 po prostu nie mam pomyslu na nie wgl ;/

[miodzio1988]

pokaz zatem obliczenia i powiem co dalej robic

[revane]

Tak więc na 1 zadaniu staje w tym miejscu
\(\displaystyle{ 5{x}_{1}+3{x}_{2}+5{x}_{3}+12{x}_{4}=10}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+2{x}_{2}+3{x}_{3}+5{x}_{4}=4}\)
\(\displaystyle{ {x}_{1}+7{x}_{2}+9{x}_{3}+4{x}_{4}=2}\)

zmieniam kolejnosc na :

\(\displaystyle{ {x}_{1}+7{x}_{2}+9{x}_{3}+4{x}_{4}=2}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+2{x}_{2}+3{x}_{3}+5{x}_{4}=4}\)
\(\displaystyle{ 5{x}_{1}+3{x}_{2}+5{x}_{3}+12{x}_{4}=10}\)

W2 - 2 * W1
W3 - 5 * W1

wychodzi mi

\(\displaystyle{ 1 \ 7 \ 9 \ 4 \ | \ 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -12 \ -15 \ -3 \ | \ 0}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -32 \ -40 \ -8 \ | \ 0}\)

i tu staje i no nie wiem co dalej niestety ;/

w przykladzie 2 wyglada to praktycznie tak samo :

odrazu napisze ze zmieniam na

\(\displaystyle{ {x}_{}+8{x}_{2}-7{x}_{3}=12}\)
\(\displaystyle{ 4{x}_{1}+3{x}_{2}-9{x}_{3}=9}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+3{x}_{2}-5{x}_{3}=7}\)
\(\displaystyle{ 2{x}_{1}+5{x}_{2}-8{x}_{3}=8}\)

i z tego robie ;
W2 - 4 * W1
W3 - 2 * W1
W4 - 2 * W1

\(\displaystyle{ 1 \ 8 \ -7 \ | \ 12}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -29 \ 19 \ | \ -39}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -13 \ 9 \ | \ -17}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -11 \ 6 \ | \ -16}\)

a do 3 po prostu nie wiem jak podejsc ;/

[kinia7]

\(\displaystyle{ 1 \ 7 \ 9 \ 4 \ | \ 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -12 \ -15 \ -3 \ | \ 0}\)
\(\displaystyle{ 0 \ -32 \ -40 \ -8 \ | \ 0}\)

i tu staje i no nie wiem co dalej niestety ;/

drugie dzielę przez -3
trzecie dzielę przez -8
\(\displaystyle{ 1 \ 7 \ 9 \ 4 \ | \ 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ 4 \ 5 \ 1 \ | \ 0}\)
\(\displaystyle{ 0 \ 4 \ 5 \ 1 \ | \ 0}\)
z tego wynika, że mamy tylko dwa równania
\(\displaystyle{ 1 \ 7 \ 9 \ 4 \ | \ 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \ 4 \ 5 \ 1 \ | \ 0}\)
niewiadomych jest cztery, więc dwie musimy przyjąć jako dowolne parametry, np. \(\displaystyle{ x_3\ i\ x_4}\)
wtedy z drugiego mamy \(\displaystyle{ x_2=\frac{-5x_3-x_4}{4}}\)
i z pierwszego \(\displaystyle{ x_1=2-\frac{7(-5x_3-x_4)}{4}-9x_3-4x_4=2-\frac{x_3+9x_4}{4}}\)

[revane]

Możesz rozpisać obliczenia na dole ?

[kinia7]

Z drugiego
\(\displaystyle{ 0 \cdot x_1+4 \cdot x_2+5 \cdot x_3+1 \cdot x_4=0}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot x_2=-5 \cdot x_3-1 \cdot x_4}\)
\(\displaystyle{ x_2=\frac{-5 \cdot x_3-1 \cdot x_4}{4}}\)

z pierwszego
\(\displaystyle{ 1 \cdot x_1+7 \cdot x^2+9 \cdot x_3+4 \cdot x_4=2}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-7 \cdot x_2-9 \cdot x_3-4 \cdot x_4}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-7 \cdot \frac{-5 \cdot x_3-1 \cdot x_4}{4}-9 \cdot x_3-4 \cdot x_4}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-\frac{-35 \cdot x_3-7 \cdot x_4}{4}-\frac{36 \cdot x_3}{4}-\frac{16\cdot_x_4}{4}}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-\frac{(-35+36) \cdot x_3+(-7+16) \cdot x_4}{4}}\)
\(\displaystyle{ x_1=2-\frac{1 \cdot x_3+9 \cdot x_4}{4}}\)