Przestrzeń ilorazowa i epimorfizm.

[pawlo392]

Nie do końca rozumiem jak obliczać przestrzeń ilorazową oraz jak to się ma do epimorfizmu.
Np
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3 /_{(x+y+z)=0}}\) jest epimorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Epimorfizm jest wtedy, kiedy odwzorowanie ( nie do końca wiem jakie w tym przypadku) jest surjekcją.
Skoro działam w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) oraz mam jedno równanie \(\displaystyle{ x+y+z=0}\) więc ono określa (nie wiem czy to jest dobre słowo) przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i jeśli to "wyrzucę" to otrzymam \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i pokryje całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) co wydaje mi się logiczne, lecz nie wiem czy moje myślenie jest poprawne.
Albo:
Znajdź przestrzeń ilorazową (=znajdź bazę) otrzymaną w wyniku podzielenia przestrzeni \(\displaystyle{ A}\)
przez \(\displaystyle{ B}\).
\(\displaystyle{ A= span |(1,1,3,2),(0,2,-1,0),(1,0,-2,1)|}\) \(\displaystyle{ B=span |(1,1,1,0),(2,1,-1,1)|}\)

[mmaciejewski]

Epimorfizm, o którym mowa, jest zadany wzorem: \(\displaystyle{ f\colon \RR^3\to \RR}\), \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x+y+z}\). Jądrem \(\displaystyle{ f}\) jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ K:=\mathrm{ker}\,f=\{(x,y,z);x+y+z=0\}}\). Twierdzenie mówi, że \(\displaystyle{ \RR^3/_K \equiv \RR}\).

Sposoby znalezienia bazy przestrzeni ilorazowej:

• uzupełnienie bazy \(\displaystyle{ K}\) do bazy \(\displaystyle{ \RR^3}\). Baza \(\displaystyle{ K}\): na przykład \(\displaystyle{ (1,-1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,0,-1)}\). Uzupełniamy ją do bazy \(\displaystyle{ \RR^3}\) wektorem \(\displaystyle{ v=(1,0,0)}\). Wtedy element \(\displaystyle{ [v]_K\in\RR^3/_K}\) tworzy bazę \(\displaystyle{ \RR^3/_K}\).
• znalezienie odpowiedniej liczby liniowo niezależnych wektorów \(\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k}\), takich, że \(\displaystyle{ f(v_k)\neq 0}\). Wtedy wektory \(\displaystyle{ [v_i]_K}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ \RR^3/_K}\). Tutaj, \(\displaystyle{ \dim\RR^3/_K=\dim\RR^3-\dim K=3-2=1}\), więc szukamy jednego wektora. Takim wektorem jest na przykład wektor \(\displaystyle{ (1,0,0)}\).

W drugim zadaniu jest problem, bo na przykład \(\displaystyle{ (1,1,1,0)\notin A}\), więc \(\displaystyle{ B\not\subset A}\). Może chodzi o \(\displaystyle{ A/_{A\cap B}}\)?