ZAD 1
Wyznacz postać Jordana endomorfizmu liniowego F i bazę w której przyjmuje on te postać, jeśli w bazie standardowej przekształcenie F zadane jest macierzą:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2&-3\\4&10&-12\\3&6&-7\end{array}\right]}\)
ZAD 2
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane w bazie standardowej przez macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}-1&1\\2&0\end{array}\right]}\). Wyznacz wszystkie bazy \(\displaystyle{ B}\), przy których wektor \(\displaystyle{ v \in R^{2}}\) o współrzędnych \(\displaystyle{ (2,0)}\) względem bazy \(\displaystyle{ B}\) przechodzi w przekształcenie \(\displaystyle{ T}\) na wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,-3)}\) względem \(\displaystyle{ B}\)
ZAD 3
Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R^{2}}\) zadane w bazie standardowej przez macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\). Czy istnieje baza \(\displaystyle{ B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) taka, że macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) względem bazy \(\displaystyle{ B}\) jest macierzą postaci \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]}\), Odpowiedź krótko uzasadnić.
Bardzo proszę o pomoc
Algebra liniowa II - zad
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Algebra liniowa II - zad
1. Patrz tutaj: viewtopic.php?f=32&t=364813
Polecam, gdyż jest tam bardzo solidnie opisana metoda postępowania.
3. Wskazówka: zmiana bazy nie wpływa na to, czy macierz generuje izomorfizm. Sprawdź, czy obie macierze generują izomorfizmy.
2. Weź dowolną bazę i zapisz jej macierz w nowej bazie. Następnie zadziałaj taką nową macierzą na wektor \(\displaystyle{ v}\) i porównaj, kiedy tak otrzymany wektor jest równy \(\displaystyle{ (0,-3)}\) pamiętając, że ten ostatni jest w nowej bazie (przypuszczam, że można to zrobić prościej, ale zadania ze zmianami baz mają za dużo "trików", których nie znam za dobrze).
Polecam, gdyż jest tam bardzo solidnie opisana metoda postępowania.
3. Wskazówka: zmiana bazy nie wpływa na to, czy macierz generuje izomorfizm. Sprawdź, czy obie macierze generują izomorfizmy.
2. Weź dowolną bazę i zapisz jej macierz w nowej bazie. Następnie zadziałaj taką nową macierzą na wektor \(\displaystyle{ v}\) i porównaj, kiedy tak otrzymany wektor jest równy \(\displaystyle{ (0,-3)}\) pamiętając, że ten ostatni jest w nowej bazie (przypuszczam, że można to zrobić prościej, ale zadania ze zmianami baz mają za dużo "trików", których nie znam za dobrze).
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Algebra liniowa II - zad
\(\displaystyle{ \det\left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&2&-3\\4&10-\lambda&-12\\3&6&-7-\lambda\end{array}\right]=0\\
\left( 2-\lambda\right)^{3} =0\\
\begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_{1}\\v_{2}\\v_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{1}+2v_{2}-3v_{3}=0\\
v_{1}=-2v_{2}+3v_{3}\\
v_{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 1\\0 \end{bmatrix} +v_{3}\begin{bmatrix} 3 \\ 0\\1 \end{bmatrix}\\}\)
Mamy dwa liniowo niezależne wektory własne
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix} \\}\)
\(\displaystyle{ v_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 4\\3\end{bmatrix}\\
v_{2}= \begin{bmatrix}1 \\ 0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{3}=\begin{bmatrix}-2 \\ 1\\0 \end{bmatrix}\\}\)
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&1&-2\\4&0&1\\3&0&0 \end{bmatrix} \\
A=\begin{bmatrix}3&2&-3\\4&10&-12\\3&6&-7\end{bmatrix}\\
J=P^{-1}AP\\}\)
\left( 2-\lambda\right)^{3} =0\\
\begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} v_{1}\\v_{2}\\v_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{1}+2v_{2}-3v_{3}=0\\
v_{1}=-2v_{2}+3v_{3}\\
v_{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 1\\0 \end{bmatrix} +v_{3}\begin{bmatrix} 3 \\ 0\\1 \end{bmatrix}\\}\)
Mamy dwa liniowo niezależne wektory własne
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2&-3\\4&8&-12\\3&6&-9\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&0\\0&0&0 \end{bmatrix} \\}\)
\(\displaystyle{ v_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 4\\3\end{bmatrix}\\
v_{2}= \begin{bmatrix}1 \\ 0\\0 \end{bmatrix}\\
v_{3}=\begin{bmatrix}-2 \\ 1\\0 \end{bmatrix}\\}\)
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&1&-2\\4&0&1\\3&0&0 \end{bmatrix} \\
A=\begin{bmatrix}3&2&-3\\4&10&-12\\3&6&-7\end{bmatrix}\\
J=P^{-1}AP\\}\)