Pytanie o bazy

[max123321]

Jeśli mamy bazę : \(\displaystyle{ \left\{ \left( -2,-1,1,0\right),\left( 1,2,1,0\right) \right\}}\) i chcemy ją dopełnić do bazy \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\) tak by wektor \(\displaystyle{ \beta=\left( 1,2,4,3\right)}\) miał współrzędne \(\displaystyle{ 1,1,0,1}\) to czy wiadomo, o które wektory bazowe nam chodzi??
Że na przykład pierwszy wektor to wektor \(\displaystyle{ \left( -2,-1,1,0\right)}\) drugi \(\displaystyle{ \left( 1,2,1,0\right)}\) itp. czy jak?

[jutrvy]

Co to są współrzędne w bazie? Generalnie to przestrzeń liniowa to zbiór jakiśtam abstrakcyjnych wektorków, ale my chcemy umieć te wektorki ładnie zakodować. Jak mam wektorek, którego współrzędne w jakiejś bazie \(\displaystyle{ v_!, v_2, v_3, v_4}\) mają być \(\displaystyle{ (1,2,3,4)}\), to wiem, że ten wektorek, to \(\displaystyle{ 1\cdot v_1 + 2\cdot v_2 + 3\cdoot v_3 + 4\cdot v_4}\). Jak masz już pierwsze dwa wektorki, to napisz sobie pierwsze dwa składniki tej sumy, zobacz, co Ci wyjdzie i dobierz takie dwa liniowo niezależne wektorki, żeby się zgadzało. Wydaje mi się, że rozwiązań będzie tutaj nieskończenie wiele, więc masz sporo możliwości

[max123321]

Czyli z tego co mówisz to:
\(\displaystyle{ v_1=\left( -2,-1,1,0\right),v_2=\left( 1,2,1,0\right)}\)
Czyli kolejność ma znaczenie.

Czyli zrobiłem:
\(\displaystyle{ 1 \cdot \left( -2,-1,1,0\right)+1 \cdot \left( 1,2,1,0\right)+0\left( ...\right) +1 \cdot \left( a,b,c,d\right)=\left( 1,2,4,3\right)}\)

No to z tego te dwa wektory dodatkowe wyszły mi:
\(\displaystyle{ \left( 2,1,2,3\right),\left( 0,0,0,1\right)}\).

[jutrvy]

Na pewno to jest dobrze przeliczone?...

[max123321]

No jak nie jak tak?
\(\displaystyle{ \left( a,b,c,d\right)=\left( 2,1,2,3\right)}\)

[jutrvy]

No to jak tak, to dobrze