Znaleźć bazę podprzestrzeni liniowej wielomianów spełniających:
\(\displaystyle{ f\left( 1\right)=0}\)
Znaleźć bazę
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Znaleźć bazę
Odpowiedź: na przykład \(\displaystyle{ B=\left\{-1+x^n: n \in \NN^+\right\}}\).
\(\displaystyle{ f(1)}\) to suma współczynników wielomianu. Różne stopnie gwarantują liniową niezależność,
zaś jeśli \(\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i}\) spełnia \(\displaystyle{ P_n(1)=0}\), to
\(\displaystyle{ P_n(x)= \sum_{i=1}^{n}a_i(-1+x^i)}\),
gdyż \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n a_i=0 \Leftrightarrow a_0=-\sum_{i=1}^n a_i}\)
\(\displaystyle{ f(1)}\) to suma współczynników wielomianu. Różne stopnie gwarantują liniową niezależność,
zaś jeśli \(\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i}\) spełnia \(\displaystyle{ P_n(1)=0}\), to
\(\displaystyle{ P_n(x)= \sum_{i=1}^{n}a_i(-1+x^i)}\),
gdyż \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^n a_i=0 \Leftrightarrow a_0=-\sum_{i=1}^n a_i}\)