\(\displaystyle{ W \subset \RR ^{4}}\) opisana równaniami
\(\displaystyle{ \begin{cases}x _1+x _2+x _4=0\\x _3-x _4=0\end{cases}}\)
a)Czy wektory \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,1\right),\left( 0,1,0,1\right),\left( 0,0,1,2\right)}\)
można dopełnić do bazy \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\) wektorem \(\displaystyle{ \beta \in W}\).
b)Znaleźć równanie przestrzeni zawierającej \(\displaystyle{ W}\) i wektor \(\displaystyle{ \left( 1,1,1,2\right)}\).
Czy można dopełnić do bazy
- Yelon
- Użytkownik
- Posty: 560
- Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 91 razy
- Pomógł: 67 razy
Czy można dopełnić do bazy
1. Nie można.
Wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (x,y,-(x+y),-(x+y))}\) czyli na przykład \(\displaystyle{ (1,1,-2,-2)}\).
No to weźmy kombinację liniową:
\(\displaystyle{ A(1,0,0,1)+B(0,1,0,1)+C(0,0,1,2)+D(x,y,-(x+y),-(x+y))}\).
Czyli mamy układ:
\(\displaystyle{ A+Dx=0}\)
\(\displaystyle{ B+DY=0}\)
\(\displaystyle{ C-D(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ A+B+2C-D(x+y)=0}\). Z trzech pierwszych wyliczam \(\displaystyle{ A \ B \ C}\) i podstawiam do czwartego:
\(\displaystyle{ -Dx-Dy+2D(x+y)-D(x+y)=0}\), a to jest zawsze równe zero (niezależnie od \(\displaystyle{ D}\)). Zatem skalary nie muszą być równe zero. Czyli układ zależny.
Wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (x,y,-(x+y),-(x+y))}\) czyli na przykład \(\displaystyle{ (1,1,-2,-2)}\).
No to weźmy kombinację liniową:
\(\displaystyle{ A(1,0,0,1)+B(0,1,0,1)+C(0,0,1,2)+D(x,y,-(x+y),-(x+y))}\).
Czyli mamy układ:
\(\displaystyle{ A+Dx=0}\)
\(\displaystyle{ B+DY=0}\)
\(\displaystyle{ C-D(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ A+B+2C-D(x+y)=0}\). Z trzech pierwszych wyliczam \(\displaystyle{ A \ B \ C}\) i podstawiam do czwartego:
\(\displaystyle{ -Dx-Dy+2D(x+y)-D(x+y)=0}\), a to jest zawsze równe zero (niezależnie od \(\displaystyle{ D}\)). Zatem skalary nie muszą być równe zero. Czyli układ zależny.