Czy można dopełnić do bazy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy można dopełnić do bazy

Post autor: max123321 »

\(\displaystyle{ W \subset \RR ^{4}}\) opisana równaniami
\(\displaystyle{ \begin{cases}x _1+x _2+x _4=0\\x _3-x _4=0\end{cases}}\)
a)Czy wektory \(\displaystyle{ \left( 1,0,0,1\right),\left( 0,1,0,1\right),\left( 0,0,1,2\right)}\)
można dopełnić do bazy \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\) wektorem \(\displaystyle{ \beta \in W}\).
b)Znaleźć równanie przestrzeni zawierającej \(\displaystyle{ W}\) i wektor \(\displaystyle{ \left( 1,1,1,2\right)}\).
Awatar użytkownika
Yelon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 560
Rejestracja: 9 mar 2014, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 67 razy

Czy można dopełnić do bazy

Post autor: Yelon »

1. Nie można.

Wektor z \(\displaystyle{ W}\) ma postać \(\displaystyle{ (x,y,-(x+y),-(x+y))}\) czyli na przykład \(\displaystyle{ (1,1,-2,-2)}\).

No to weźmy kombinację liniową:

\(\displaystyle{ A(1,0,0,1)+B(0,1,0,1)+C(0,0,1,2)+D(x,y,-(x+y),-(x+y))}\).

Czyli mamy układ:

\(\displaystyle{ A+Dx=0}\)
\(\displaystyle{ B+DY=0}\)
\(\displaystyle{ C-D(x+y)=0}\)
\(\displaystyle{ A+B+2C-D(x+y)=0}\). Z trzech pierwszych wyliczam \(\displaystyle{ A \ B \ C}\) i podstawiam do czwartego:

\(\displaystyle{ -Dx-Dy+2D(x+y)-D(x+y)=0}\), a to jest zawsze równe zero (niezależnie od \(\displaystyle{ D}\)). Zatem skalary nie muszą być równe zero. Czyli układ zależny.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Czy można dopełnić do bazy

Post autor: max123321 »

No dobra to rozumiem, a jak postępować w b)?
ODPOWIEDZ